在△ABC中，点P为BC的中点。 （1）如图（1），求证：AP< （AB+AC）；（2）延长AB至D，

在△ABC中，点P为BC的中点。 （1）如图（1），求证：AP< （AB+AC）；（2）延长AB至D，

解：（1）证明：延长AP至H，使得PH=AP，连接BH、HC ∵BP=PC ∴四边形ABHC是平行四边形， ∴AB=HC 在△ACH中，AH∴2AP （AB+AC）；
（2）①解：BE=2AP 证明：过B作BH∥AE交DE于H，连接CH、AH ∴∠1=∠BAC=60° ∵DB=AC，AB=CE， ∴AD=AE ∴△AED是等边三角形， ∴∠D=∠1=∠2=60° ∴△BDH是等边三角形 ∴BD=DH=BH=AC ∴四边形ABHC是平行四边形 ∵点P是BC的中点， ∴AH、BC互相平分于点P，即AH=2AP， 在△ADH和△EDB中 ∴△ADH≌△EDB ∴AH=BE=2AP；
②证明：分两种情况： i．当AB=AC时， ∴AB=AC=DB=CE ∴BC= DE；
II．当AB≠AC时，以BD、BC为一组邻边作平行四边形BDGC（如图）， ∴DB=GC=AC，∠BAC=∠1，BC=DC ∵AB=CE ∴△ABC≌△CEC ∴BC=EC=DG 在△DGE中，DG+GE>DE ∴2BC>DE，即BC> DE，综上所述，BC≥ DE。

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