已知定义在正实数集上的函数f(x)=1/2x^2+2ax,g(x)=3a^2lnx+b,其中a＞0，设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点，且在公共点处的切线相同

已知定义在正实数集上的函数f(x)=1/2x^2+2ax,g(x)=3a^2lnx+b,其中a＞0，设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点，且在公共点处的切线相同

（1）若a=1,求b的值

（2）用a表示b，并求b的最大值

(1)a=1时,f(x)=1/2x²+2x,g(x)=3lnx+b

设f(x),g(x)得公共点为P(x0,y0)

则1/2x0^2+2x0=3lnx0+b(x0>0)（*）

又f`(x)=x+2,g(x)=3/x

∵在公共点处的切线相同

∴x0+2=3/x0

解得x0=1

代入式子（*）得

b=2.5

(2)设f(x),g(x)得公共点为P(x0,y0)

则1/2x0^2+2ax0=3a^2lnx0+b(x0>0)（*）

又f`(x)=x+2a,g(x)=3a²/x

∵在公共点处的切线相同

∴x0+2a=3a²/x0

解得x0=a

代入式子（*）得

b=2.5a²-3a²lna

b`=5a-3(2alna+a)

令b`=0，得a=e^(1/3)

易得b在(0,e^(1/3))单调增，在(e^(1/3),+∞)单调减

∴当a=e^(1/3)时,bmax=2.5e^(2/3)-e^(2/3)=1.5e^(2/3)

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