Sn=(an+1)/2^2

已知an的各项均为正，Sn=(an+1)/2^2,求证：1/s1+1/s2+1/s3+....+1/sn<2

报纸14-3

a1=S1=(a1+1)/2^2，即4a1=(a1+1)^2，解方程得a1=S1=1。
当n>=2时，an=Sn-S（n-1）=[(an+1)/2]^2-[(a(n-1)+1)/2]^2，即4an=(an+1)^2-(a(n-1)+1)^2，化简得(a(n-1)+1)^2=(an-1)^2。
由已知an的各项均为正，即a1>0且当n>=2时，an>0，所以(a(n-1)+1)^2>1，那么(an-1)^2>1，即(an-1)或大于1，或小于-1。因an>0，(an-1)必大于-1，所以(an-1)>1。
当n>=2时，a(n-1)>0，所以a(n-1)+1>0，又(an-1)>1，那么当(a(n-1)+1)^2=(an-1)^2时，即得a(n-1)+1=an-1，也就是an=a(n-1)+2
{an}是以1为首项，2为公差的等差数列。an=2n-1，Sn=n^2。
当n>=2时，1/Sn=1/n^2<1/[n(n-1)]=(1/(n-1))-(1/n)
所以1/S1+1/S2+1/S3+....+1/Sn<1+1/1-1/2+1/2-1/3+....+(1/(n-1))-(1/n)=2-(1/n)<2

2 √sn=an+1 ==>an=2√(sn)-1 ==> (an+1)/2=√sn ==> an平方+1+2an=4sn 同理 a(n-1)平方+1+2a(n-1)=4s(n-1) ==> 4sn-4s(n-1)=4an=an平方+1+2an-a(n-1)平方-1-2a(n-1) ==>整理有： (an平方-a(n-1)平方)-2(an+a(n-1))=0 ==> 两边同除以“(an+a(n-1))",（平方差公式！！！） ==> an-a(n-1)-2=0 ==> an=等差数列，公差d=2 由于2 √sn=an+1 故2 √s1=a1+1==>2 √a1=a1+1==>a1=1 故an=1+(n-1)*2=2n-1

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