高中数学知识

什么是“和差化积公式”要解释详细，尽量举例

[编辑本段]正弦、余弦的和差化积　　指高中数学三角函数部分的一组恒等式 　　sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] 　　sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 　　cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] 　　cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】 　　 　　以上四组公式可以由积化和差公式推导得到 证明过程　　sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程 　　因为 　　sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β， 　　sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β， 　　将以上两式的左右两边分别相加，得 　　sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β， 　　设 α+β=θ，α-β=φ 　　那么 　　α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2 　　把α，β的值代入，即得 　　sin θ+sin φ=2sin(θ+φ)/2 cos(θ-φ）/2 [编辑本段]正切的和差化积　　tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明） 　　cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ) 　　tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ) 　　tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ) 　　证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ 　　=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ) 　　=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边 　　∴等式成立 [编辑本段]注意事项　　在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次 　　口诀 　　正加正，正在前，余加余，余并肩 　　正减正，余在前，余减余，负正弦 　　反之亦然 　　生动的口诀：（和差化积） 　　帅+帅=帅哥 　　帅-帅=哥帅 　　咕+咕=咕咕 　　哥-哥=负嫂嫂 　　反之亦然

sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
sin(a-b)=sinacosb-cosasinb

cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
cos(a-b)=cosacosb+sinasinb

和差化积的应用：

和差化积的公式

和差化积公式：
　　sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
　　sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
　　cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
　　cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

和差化积的推导

sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
sin(a-b)=sinacosb-cosasinb
两式相加得：sinacosb=1/2[sin(a+b)+sin(a-b)]...(1)
两式相减得：cosasinb=1/2[sin(a+b)-sin(a-b)]...(2)
cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
两式相加得： cosacosb=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)]...(3)
两式相减得：sinasinb=-1/2[cos(a+b)-cos(a-b)]...(4)

用(a+b)/2、(a-b)/2分别代替上面四式中的a,b
就可得到和差化积的四个式子。
如：(1)式可变为：
sina+sinb=2sin[(a+b)/2]*cos[(a-b)/2]

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