已知函数f（x）=x 3 +3mx 2 +nx+m 2 在x=-1时有极值0，则m+n=______

已知函数f（x）=x 3 +3mx 2 +nx+m 2 在x=-1时有极值0，则m+n=______．

解： f（x）=x³ +3mx² +nx+m²
∵极值点是导数为零的点
∴ f＇（x）=3x² +6mx +n =0
f＇（-1）=3 -6m +n =0 （1）
f（x-1）=-1 +3m-n +m²=0 （2）
由（1）得n=6m-3带入（2）
-1 +3m-（6m-3）+m²=0
m²-3m+2=0
(m-1)(m-2)=0
m1=1 m2=2
n1=3 n2=9
∴ m+n=4 或 m+n=11
当m=1，n=3时函数f（x）=x 3 +3x 2 +3x+1，f′（x）=3x 2 +6x+3=3（x+1） 2 ≥0
函数在R上单调递增，函数无极值，舍去。
∴ m+n=11

∵f（x）=x 3 +3mx 2 +nx+m 2 ∴f′（x）=3x 2 +6mx+n 依题意可得 f(-1)=0 f ′ (-1)=0 ? -1+3m-n+ m 2 =0 3-6m+n=0           联立可得 m=2 n=9 或 m=1 n=3 当m=1，n=3时函数f（x）=x 3 +3x 2 +3x+1，f′（x）=3x 2 +6x+3=3（x+1） 2 ≥0 函数在R上单调递增，函数无极值，舍 故答案为：11

函数要有极值点，还要求f'(x)＝0这个一元二次方程有两个不相等的实数根，所以△＞0，而n=3,m=1时，△＝0，所以舍去

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