解答题已知函数f（x）=2ax+b在[1，2]上的最小值为1，最大值为2，求f（x）的

解答题 已知函数f（x）=2ax+b在[1，2]上的最小值为1，最大值为2，求f（x）的解析式．

解：当a＞0时，可证f（x）=2ax+b为[1，2]的单调增函数（2分）
∴x=1，函数f（x）=2ax+b取最小值为1，有2a+b=1（3分）
x=2，函数f（x）=2ax+b取最大值为2，有2=22a+b（4分）
可得a=1，b=-1 （6分）
∴f（x）=2x-1（7分）
当a＜0时，可证f（x）=2ax+b为[1，2]的单调减函数（9分）
∴x=1，函数f（x）=2ax+b取最大值为2，有∴2a+b=2（10分）
x=2，函数f（x）=2ax+b取最小值为1，有1=22a+b（11分）
可得a=-1，b=2 （13分）
∴f（x）=2-x+2（14分）
∴f（x）的解析式为f（x）=2x-1或 f（x）=2-x+2（16分）解析分析：当a＞0时，可证f（x）=2ax+b为[1，2]的单调增函数，x=1，函数有最小值，x=2，函数有最大值；当a＜0时，可证f（x）=2ax+b为[1，2]的单调减函数，x=1，函数有最大值，x=2，函数有最小值．点评：本题考查函数的单调性，以及利用函数的单调性求函数的最值问题，用待定系数法求函数解析式．

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