高二上人教版数学圆与方程

如题   

圆与方程需掌握的要点与公式

附上练习题再加分

一）圆的标准方程

  1. 圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。定点叫圆的圆心，定长叫做圆的半径。

  2. 圆的标准方程：已知圆心为（a，b），半径为r，则圆的方程为。

    说明：

    （1）上式称为圆的标准方程。

    （2）如果圆心在坐标原点，这时a＝0，b＝0，圆的方程就是。

    （3）圆的标准方程显示了圆心为（a，b），半径为r这一几何性质，即圆心为（a，b），半径为r。

    （4）确定圆的条件

    由圆的标准方程知有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定．因此，确定圆的方程，需三个独立的条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定型条件。

    （5）点与圆的位置关系的判定

    若点M（x₁，y₁）在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径，即

    ；

    若点M（x₁，y₁）在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径，即

    ；

  3. 几种特殊位置的圆的方程

（二）圆的一般方程

    任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：

        ①

    将①配方得：

        ②

    当时，方程①表示以（）为圆心，以为半径的圆；

    当时，方程①只有实数解，所以表示一个点（）；

    当时，方程①没有实数解，因此它不表示任何图形。

    故当时，方程①表示一个圆，方程①叫做圆的一般方程。

    圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：

    （1）和的系数相同，且不等于0；

    （2）没有xy这样的二次项。

    以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件。

    要求出圆的一般方程，只要求出三个系数D、E、F就可以了。

（三）直线和圆的位置关系

  1. 直线与圆的位置关系

    研究直线与圆的位置关系有两种方法：

    （l）几何法：令圆心到直线的距离为d，圆的半径为r。

    d>r直线与圆相离；d＝r直线与圆相切；0≤d<r直线与圆相交。

    （2）代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一元二次方程，其判别式为Δ。

    △＜0直线与圆相离；△＝0直线与圆相切；△＞0直线与圆相交。

    说明：几何法研究直线与圆的关系是常用的方法，一般不用代数法。

  2. 圆的切线方程

    （1）过圆上一点的切线方程是；

    （2）过圆上一点的切线方程是

    ；

    （3）过圆上一点的切线方程是

   

  3. 直线与圆的位置关系中的三个基本问题

    （1）判定位置关系。方法是比较d与r的大小。

    （2）求切线方程。若已知切点M（x₀，y₀），则切线方程为

    ；

    若已知切线上一点N（x₀，y₀），则可设切线方程为，然后利用d＝r求k，但需注意k不存在的情况。

    （3）关于弦长：一般利用勾股定理与垂径定理，很少利用弦长公式，因其计算较繁，另外，当直线与圆相交时，过两交点的圆系方程为

   

（四）圆与圆的位置关系

  1. 圆与圆的位置关系问题

    判定两圆的位置关系的方法有二：第一种是代数法，研究两圆的方程所组成的方程组的解的个数；第二种是研究两圆的圆心距与两圆半径之间的关系。第一种方法因涉及两个二元二次方程组成的方程组，其解法一般较繁琐，故使用较少，通常使用第二种方法，具体如下：

    圆与圆的位置关系，其中

    设两圆的圆心距为d，则

    当时，两圆外离；

    当时，两圆外切；

    当时，两圆相交；

    当时，两圆内切；

    当时，两圆内含

    注意：两圆的位置关系可表示在一条数轴上，如图所示：

    两圆位置关系的问题同直线与圆的位置关系的问题一样，一般要转化为距离间题来解决。另外，我们在解决有关圆的问题时，应特别注意，圆的平面几何性质的应用。

  2. 两圆相交问题

    （1）过两已知圆的交点的圆系方程，

    即

    当时，变为，表示过两圆的交点的直线（当两圆是同心圆时，此直线不存在），当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心线垂直的直线。

    （2）过直线与圆交点的圆系方程

    设直线与相交，则方程表示过直线l与圆C的两个交点的圆系方程。

（五）空间直角坐标系

  1. 空间直角坐标系

    为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O作原点，过O点作三条两两垂直的数轴，通常用x、y、z表示．轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的正半轴重合。这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O－xyz。在这个过程中，三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础。

  2. 点P的坐标

    过点P作一个平面平行于平面yOz（这样构造的平面同样垂直于x轴），这个平面与x轴的交点记为P，它在x轴上的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标。你能试述点P的y坐标，点P的z坐标吗？

  3. 坐标平面

    每两条坐标轴分别确定的平面yOz、xOz、xOy叫做坐标平面。

  4. 特殊点的坐标形式

    xOy平面是坐标形如（x，y，0）的点构成的点集，其中x、y为任意实数；

    xOz平面是坐标形如（x，0，z）的点构成的点集，其中x、z为任意实数；

    yOz平面是坐标形如（0，y，z）的点构成的点集，其中y、z为任意实数；

    x轴是坐标形如（x，0，0）的点构成的点集，其中x为任意实数；

    y轴是坐标形如（0，y，0）的点构成的点集，其中y为任意实数；

    z轴是坐标形如（0，0，z）的点构成的点集，其中z为任意实数。

  5. 卦限

    三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一个卦限。

    在坐标平面xOy上方分别对应该坐标平面上四个象限的卦限称为第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限；在下方的卦限称为第Ⅴ、第Ⅵ，第Ⅶ、第Ⅷ卦限。在每个卦限内点的坐标各分量的符号是不变的。例如在第Ⅰ卦限，三个坐标分量x、y、z都为正数；在第Ⅱ卦限，x为负数，y、z均为正数。

（六）空间两点的距离公式

    空间两点A（x₁，y₁，z₁），B（x₂，y₂，z₂）的距离公式是

   

    特别的，点A（x，y，z）到原点的距离为

【典型例题】

  例1. 求满足下列条件的各圆的方程：

    （1）圆心在原点，半径是3；

    （2）圆心在点C（3，4），半径是；

    （3）经过点P（5，1），圆心在点C（8，－3）；

    （4）圆心在直线5x－3y＝8上，又圆与坐标轴相切，求此圆方程；

    （5）圆心在直线y＝－2x上，且与直线y＝1－x相切于点（2，－1）。

    解析：（1）；

    （2）；

    （3）；

    （4）设所求圆的方程为

    因为圆与坐标轴相切，故圆心满足，

    又圆心在直线上，所以，

    解方程组，得：

    所以圆心坐标为（4，4），或（1，－1）

    于是可得半径，

    故所求圆的方程为或。

    （5）设圆心为（a,－2a）由题意，圆与直线相切于点（2，－1），得

   

    解得：a＝1

    所以所求圆的圆心为（1，－2），半径为

    故圆的方程为

    点评：一般情况下，如果已知圆心或圆心到某直线的距离，可用圆的标准方程来求解。用待定系数法，求出圆心坐标和半径。

  例2. 求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点（5，2）和点（3，－2）的圆的方程。

    解析：法一

    设圆的方程为，则

   

    解得

   法二：因为圆过A（5，2），B（3，－2）两点，所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上，线段AB的垂直平分线方程为

    设所求圆的圆心坐标为C（a，b），则有

   

    解得

    所以C（2，1），

    所求圆的方程为

    点评：确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定参数”是解题的基本方法，其中，选标准是根据已知条件选恰当的方程的形式，进而确定其中三个参数。

  例3. 已知圆C和y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为，求圆C的方程。

    解析：设圆C的方程为

    又圆C与y轴相切得    ①

    又圆心在直线上，    ②

    圆心C（a，b）到直线的距离为

    由于弦心距d、半径r及弦的一半构成直角三角形，所以

        ③

    联立①②③解方程组可得

    或

    故圆C的方程为：或

    点评：利用圆的几何性质，是迅速、准确解出本题的关键。

  例4. 求过点A（2，－2），B（5，3），C（3，－1）的圆的方程。

    解析：设所求的圆的方程为

    将A（2，－2），B（5，3），C（3，－1）三点的坐标代入圆的方程

    得

    解得

    圆的方程为：

    点评：一般来说，由题意知道所求的圆经过几点且不易得知圆心换半径时，常用一般式。

  例5. 已知圆，定点P（4，0），问过P点的直线的斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆：

    （1）相切；

    （2）相交；

    （3）相离，并写出过P点的切线方程。

    解析：法一

    设过P点的直线的斜率为k，则其方程为

    由消去y，得

    即

   

    （1）令，即

    当时，直线与圆相切，切线方程为或

    （2）令，即

    当时，直线与圆相交

    （3）令，即或时，当或时，直线与圆相离

    法二：设圆心到直线的距离为d，则

   

    （1），即，

    时，直线与圆相切，其切线方程为或

    （2）时，即，即时，直线与圆相交

    （3），即，

    即或时直线与圆相离

    点评：解决直线与圆的位置关系，几何法比代数法简单。

  例6. 已知直线，曲线，它们有两个公共点，求b的取值范围。

    解析：法一，曲线C中，，因此l和C有两个公共点，等价于方程组有两组不同解，又等价于，有两组不同解，消去x得

    C和l有两个公共点，等价方程有两个不等非负实数解

    于是

    解得

    法二：方程表示斜率为1的平行直线系；方程表示单位圆位于x轴及其上方的半圆，如图所示。当l通过A（－1，0），B（0，1）时，l与C有两交点，此时b＝1，记为；当与半圆相切时，切线记为；当l夹在与之间时，l和C有两个不同公共点。因此。

    点评：（1）曲线C不是一个完整的圆，是半圆；（2）数形结合思想的应用。

  例7. 求圆心在直线x＋y＝0上，且过两圆，的交点的圆的方程。

    解析：法一

    解方程组

    得交点坐标分别为（0，2）（－4，0）

    设所求圆心坐标为（a，－a）

    则

    解得

    因此，圆的方程为

    法二：同法一，得两已知圆的交点的坐标为（0，2），（－4，0）

    设所求的圆的方程为，则有

   

    解得

    因此，圆的方程为

    法三，设所求圆的方程为

    即

    因为这个圆的圆心在直线上

    所以

    解得

    圆的方程为

    点评：注意掌握这种特殊题型的几种解题方法。

【模拟试题】

1、点（2，0，3）在空间直角坐标系中的位置是在（    ）

A. y轴上    B. xOy平面上    C. xOz平面上    D. 第一卦限内

2、点M（2，－3，1）关于坐标原点的对称点是（    ）

A. （－2，3，－1）    B. （－2，－3，－1）

C. （2，－3，－1）    D. （－2，3，1）

3、设点B是点A（2，－3，5）关于xOy面的对称点，则|AB|等于（    ）

A. 10    B.     C.     D. 38

4、设有圆M：，直线，点P（2，1），那么（    ）

A. 点P在直线l上，但不在圆M上    B. 点P不在直线l上，但在圆M上

C. 点P在直线l上，也在圆M上    D. 点P既不在直线l上，也不在圆M上

5、设M是圆上的点，则M到直线的最小距离是（    ）

A. 9    B. 8    C. 5    D. 2

6、方程表示圆，则a的取值范围是（    ）

A.     B.

C.     D.

7、过点P（3，0）能有多少条直线与圆相切（    ）

A. 0条    B. 1条    C. 2条    D. 1条或2条

8、直线被圆截得的弦长等于（    ）

A.     B. 2    C.     D.

9、直线被圆所截得线段的中点坐标是（    ）

A.     B. （0，0）    C.     D.

10、若圆和圆关于直线对称，那么直线的方程是（    ）

A.     B.

C.     D.

11、与两坐标轴都相切，且过点（2，1）的圆的方程是____________________

12、过点（0，0），（1，0），（0，2）的圆的方程是__________________________

13、若实数x ，y满足，则的最小值为__________________

14、已知，则的最大值为__________________

15、一圆过点P（－4，3），圆心在直线上且半径为5，求此圆的方程。

16、求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程。

17、已知圆满足：（1）截y轴所得弦长为2；

（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3∶1；圆心到直线的距离为，求该圆的方程。

【试题答案】

1～10：C A A A D  D A C A D

11、

12、    13、    14、 

15、设此圆的方程为，

    依题意，得：

    解得：

    所以所求圆的方程为或

16、设此圆的方程为，

因为所求圆的半径是4，大于已知圆的半径，所以两圆只能外切，

    依题意，得：，

解得：

所以所求圆的方程是

 或

或或

  17、设⊙P的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|，由题设知⊙P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°，知⊙P截x轴所得的弦长为r，故2|b|＝r，得：r²=2b²

又⊙P被y轴解得的弦长为2，由勾股定理得：r²＝a²＋1，得：2b²－a²＝1。

又因为P（a,b）到直线x－2y＝0的距离为，得：，即有。

    综前述得：

    解得：，于是r²＝2b²＝2

   

圆对称后仍是圆,半径不变,只要求出圆心A(1,3)关于x-y-1=0的对称点B(m,n)1)AB的中点((m+1)/2,(n+3)/3)在直线x-y-1=0∴(m+1)/2-(n+3)/2-1=0, 即m-n-4=0①2)直线AB与x-y-1=0垂直,x-y-1=0斜率为1∴AB斜率为-1, (n-3)/(m-1)=-1, 即m+n-4=0②解①②得 m=4,=0∴对称后圆方程为(x-4)^2+y^2=1

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