初三数学 如图，在△ABC中，角C=90°，角A=30°，三角形ABE,ACD为等边三角形，DE与AB交于点F，求证;EF=FD

初三数学 如图，在△ABC中，角C=90°，角A=30°，三角形ABE,ACD为等边三角形，DE与AB交于点F，求证;EF=FD

证明：

过E点做EG垂直AB于G点。要证明EF=DF, 就转化成证明△EGF≌△DAF

显然∠DAF=∠BAC+∠CAD=30°+60°=90°=∠EGF

∠AFD=∠EFG

现在只需再证明一条边相等即可。很容易想到△ABC的边与边的关系。

∵AD=AC=|AB|sin60°,  而 EG=|EA|sin60°=|AB|sin60°=AD

故△EGF≌△DAF （AAS）

∴ EF=FD

证明：过点E作EH⊥BA于H

因为   在Rt△ABC中∠BAC=30°

所以  ∠CBA=60°

因为   △ABE是等边三角形

所以  BE=BA

所以  ∠BEA=∠ABE=60°

因为   ∠BEA=60° EH⊥BA

所以  ∠BEH=30°

因为   ∠ABE=∠CBA=60° ∠BEH=∠BAC=30° BE=BA

所以  △BHE≌△BCA

所以  EH=AC

因为   △ACD是等边三角形

所以  AD=DC=CA

因为   AD=DC=CA EH=AC

所以  EH=CA=AD

因为   △ACD是等边三角形

所以  ∠CAD=60°

因为   ∠CAD=60° ∠BAC=30°

所以  ∠BAD=90°

所以  DA⊥AB

因为   DA⊥AB EH⊥BA

所以  EH∥AD

所以  ∠HEF=∠ADF

因为   ∠HEF=∠ADF EH=AD ∠EFH=∠DFA

所以  △EHF≌△DAF

所以  EF=FD

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