数学WENTI

已知四边形ABCD中，AB垂直于AD，BC垂直于CDAB=BC，角ABC=120度，角MBN=60度，角MBN绕点B旋转，他的两边分别交AD，CD(或他们的延长线）于E,F（1）当角MBN的两边与AD，CD相交时，如图a，求证：AE+CF=EF. （2）当角MBN的两边与AD,DC的延长线相交时，如图（b），请探究AE,CF,EF又有怎样的数量关系，请写出你的结论，并加以证明。

(1)

将BCF以B为中心顺时针旋转120度至BAG BA与BC重合 BCF全等BAG

所以角GBE=角EBF

又 BF=BG BE=BE

BEF全等BGE

所以GA+AE=EF

所以AE+CF=EF

(2)

旋转如上 G在AE上

所以 角EBG=角EBF BE=BE BF=BG

所以 BEF全等BEG

所以 AE-AG=EF

所以 AE-CF=EF

1、延长ＤＣ至Ｇ使ＣＧ＝ＡＥ

在三角形ＡＢＥ与ＣＢＧ中，角ＢＡＥ＝角ＢＣＧ＝９０度

ＡＢ＝ＣＢ，ＡＥ＝ＣＧ，两三角形全等

故ＢＧ＝ＢＥ

角ＡＢＥ＝角ＣＢＧ

故角ＧＢＦ＝角ＧＢＣ＋角ＣＢＦ＝角ＡＢＥ＋角ＣＢＦ＝角ＡＢＣ＝角ＥＢＦ＝１２０－６０＝６０度

三角形ＢＥＦ与ＢＧＦ全等　两边夹角相等

故ＧＦ＝ＥＦ

故AE+CF=EF

２、在ＡＤ上取一点Ｇ使ＡＧ＝ＦＣ

两直角三角形ＡＢＧ与ＦＢＣ全等（两边夹角相等）

故ＢＦ＝ＢＧ

角ＡＢＧ＝角ＦＢＣ

故角ＧＢＥ＝角ＡＢＥ－角ＡＢＧ＝角ＡＢＥ－角ＣＢＦ＝１２０－角ＣＢＥ－角ＣＢＦ＝120-60=60度

故三角形ＢＥＧ和ＢＥＦ全等(两边夹角相等）

故ＥＧ＝ＥＦ

ＡＥ＝ＡＧ＋ＥＧ＝ＣＦ＋ＥＦ

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