设对于半空间x＞0内任意的光滑有向封闭曲面S，都有?Sxf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy＝0，其中函数f（x）

设对于半空间x＞0内任意的光滑有向封闭曲面S，都有?Sxf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy＝0，其中函数f（x）在（0，+∞）内具有连续的一阶导数，且limx→0+f(x)＝1，求f（x）．

对于任意的光滑有向封闭曲面S，设Ω为其所围区域，
利用高斯公式可得，
0=
?
S xf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy
=±
?
Ω (xf′(x)+f(x)?xf(x)?e2x)dxdydz．
由S的任意性，可得
xf′（x）+f（x）-xf（x）-e2x=0，（x＞0）．
即
f′（x）+(
1
x ?1)f(x)=
1
x e2x，（x＞0）． （*）
利用分离变量法可得，齐次方程f′（x）+(
1
x ?1)f(x)=0 的通解为
f（x）=
Cex
x ．
利用常数变异法，设f(x)＝
C(x)ex
x ，代入（*）中整理可得，
C′（x）=ex，
从而 C（x）=ex+C，
f（x）=
ex
x (ex+C)，（x＞0）．
因为
lim
x→0+ f(x)＝1，
即 
lim
x→0+
ex
x (ex+C)=
lim
x→0+
ex(ex+C)
x =1，
所以
lim
x→0+ ex(ex+C)=0，
即 1+C=0．
所以 C=-1，
f（x）=
ex
x (ex?1)．

我不会~~~但还是要微笑~~~：）

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