已知函数f（x）=ln（x+1）+axx+1（a∈R）（Ⅰ）当a=2时，求函数y=f（x）的图象在x=0处的切线方程；（Ⅱ）

已知函数f（x）=ln（x+1）+axx+1（a∈R）（Ⅰ）当a=2时，求函数y=f（x）的图象在x=0处的切线方程；（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅲ）求证：ln（1+1n）＞1n-1n2（n∈N*）

解答：（Ⅰ）解：当a=2时，f（x）=ln（x+1）+
2x
x+1 ，
∴f′（x）=
x+3
(x+1)2 ，（1分）
∴f′（0）=3，∴所求的切线的斜率为3．（2分）
又∵f（0）=0，∴切点为（0，）．（3分）
故所求的切线方程为：y=3x．（4分）
（Ⅱ）解：∵f（x）=ln（x+1）+
ax
x+1 （x＞-1），
∴f′（x）=
x+1+a
(x+1)2 ．  （6分）
①当a≥0时，∵x＞-1，∴f′（x）＞0；  （7分）
②当a＜0时，
由







f′(x)＜0
x＞?1 ，得-1＜x＜-1-a；由







f′(x)＞0
x＞?1 ，得x＞-1-a；  （8分）
综上，当a≥0时，函数f（x）在（-1，+∞）单调递增；
当a＜0时，函数f（x）在（-1，-1-a）单调递减，在（-1-a，+∞）上单调递增．（9分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当a=-1时，f（x）=ln（x+1）-
x
x+1 在（0，+∞）上单调递增．  （10分）
∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞
x
x+1 ．  （11分）
令x=
1
n ，则ln（1+
1
n ）＞

1
n

1
n +1 =
1
n+1 ．  （12分）
另一方面，∵
1
n(n+1) ＜
1
n2 ，即
1
n ?
1
n+1 ＜
1
n2 ，
∴
1
n+1 ＞
1
n -
1
n2 ，（13分）
∴ln（1+
1
n ）＞
1
n -
1
n2 （n∈N*）（14分）

搜一下：已知函数f（x）=ln（x+1）+axx+1（a∈R）（Ⅰ）当a=2时，求函数y=f（x）的图象在x=0处的切线方程；（Ⅱ）

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息