已知b/(a+b)=(a+c-b)/(b+c-a)=(a+b+c)/(2a+b+2c),求证：a:b:c=2:3:4.

已知b/(a+b)=(a+c-b)/(b+c-a)=(a+b+c)/(2a+b+2c),求证：a:b:c=2:3:4.

即(a+b)/b=(b+c-a)/(a+c-b)=(2a+b+2c)/(a+b+c)
同时减去1
a/b=(2b-2a)/(a+c-b)=(a+c)/(a+b+c)

a/b=(a+c)/(a+b+c)
a²+ab+ac=ab+bc

a²+ac=bc
a(a+c)=bc
a/b=c/(a+c)

a/b=(2b-2a)/(a+c-b)
a²+ac-ab=2b²-2ab
a²+ac=2b²-ab
a(a+c)=b(2b-a)
a/b=(2b-a)/(a+c)

所以c/(a+c)=(2b-a)/(a+c)
c=2b-a
代入a/b=c/(a+c)
a/b=(2b-a)/2b
2ab=2b²-ab
2b²=3ab
2b=3a
a:b=2:3

c=2b-a=3a-a=2a
所以a:b:c=2:3:4

亲，可以用反证法的呦！ 证明：设a:b:c=2:3:4, 若a=2x,则：b=3x,c=4x, 因为b/(a+b)=(a+c-b)/(b+c-a)=(a+b+c)/(2a+b+2c) 所以原式可化为：3x/(2x+3x)=(2x+4x-3x)/(3x+4x-2x)=(2x+3x+4x)/(4x+3x+8x) 即：3x/5x=3x/5x=9x/15x，原式成立， 所以a:b:c=2:3:4

5

首先把方程倒过来 a+b/b=b+c-a/a+c-b=2a+b+2c/a+b+c 等式全部减去1仍然成立 a/b=2b-2a/a+c-b=a+c/a+b+c 由a/b=a+c/a+b+c得 a/b=c/a+c 又由a/b=c/a+c得 c-a/a+c-b=a/b=2b-2a/a+c-b 所以c-a=2b-2a c=2b-a 又由于前式a/b=c/a+c 将c=2b-a代入得 a/b=2/3 c/a=2b/a-1=2 所以a/c=1/2 这样由a/b=2/3 a/c=1/2得结果a:b:c=2:3:4

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