为什么连续5个自然数的积能被120整除

为什么连续5个自然数的积能被120整除

即欲证n(n+!)(n+2)(n+3)(n+4)能被120整除（n为正整数） 证明： 1、当n=1时1*2*3*4*5=120，能被120整除，原命题成立 2、假设当n=k时原命题成立，则当n=k+1时    （k+1）（k+2）（k+3）（k+4）（k+5） =k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4） +5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4） 因为k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍数 只需证5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍数 即欲证（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是24的倍数 四个数中两奇两偶，一定有4的倍数，3的倍数，还有另一个偶数，所以一定能被4*2*3=24整除 。   即当n=k+1时原命题成立 所以，综合1、2、，原命题对任何自然数成立

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