在正方形ABCD中,∠DEA=15°,ED=EC,求证:△DEC为等边三角形.

在正方形ABCD中,∠DEA=15°,ED=EC,求证:△DEC为等边三角形.

证明：不妨连接AC
令∠CDE=θ
由条件可以知道:
(1):∠ADE=90°+θ
(2):∠DCE=θ
(3):∠ACE=45°+θ
(4):∠DAE=180°-(90°+θ)-15°=75°-θ
(5):∠CAE=45°-∠DAE=θ-30°

在△ADE中：
利用正弦定理有：
AD/sin∠AED=AE/sin∠ADE=DE/sin∠DAE....（i）

在△ACE中：
利用正弦定理有：
AC/sin∠AEC=AE/sin∠ACE=CE/sin∠CAE....（ii）
∵DE=CE

结合(i)与(ii)有：

AEsin∠DAE/sin∠ADE=DE=EC=AEsin∠CAE/sin∠ACE.....(iii)
再结合(1);(3);(4)
所以：(iii)可以整理为:
sin(75°-θ)/sin(90°+θ)=sin(θ-30°)/sin(45°+θ)

继续整理有:
sin(75°-θ)/cosθ
=sin(θ-30°)/sin(45°+θ)

∴sin(θ-30°)cosθ
=sin(45°+θ)sin(75°-θ)
=sin(45°+θ)cos(15°+θ)

∴0.5*[sin(2θ-30°)+sin(-30°)]
=sin(θ-30°)cosθ

=sin(45°+θ)cos(15°+θ)
=0.5*[sin(60°+2θ)+sin(30°)]

∴sin(2θ-30°)+sin(-30°)=sin(60°+2θ)+sin(30°)

∴sin(2θ-30°)-sin(60°+2θ)=1

∴2cos(2θ+15°)sin(-45°)=1

∴cos(2θ+15°)=-√2/2=cos(135°)

又∵(4);(5)
∴知θ在30°~75°之间
∴2θ+15°在75°~165°之间；
根据三角函数余弦函数的性质可知：
∴2θ+15°=135°
∴θ=60°
故∠CDE=∠DCE=60°
∴最后得到△CDE为等边三角形

证毕！

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