设a1=1,a2=5/3,a(n+2)=5/3[a(n+1)-2/3an]，求数列{nan}的前项和
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解决时间 2021-04-24 17:41
- 提问者网友：愿为果
- 2021-04-24 07:27
设a1=1,a2=5/3,a(n+2)=5/3[a(n+1)-2/3an]，求数列{nan}的前项和
最佳答案
- 五星知识达人网友：逃夭
- 2021-04-24 08:21
a(n+1)-an=(2/3)^n
a2-a1=2/3
a3-a2=(2/3)^2
a4-a3=(2/3)^3
……
……
an-a(n-1)=(2/3)^(n-1)
叠加得
an-a1=2-(2/3)^(n-1)
an=3-(2/3)^(n-1)
nan=3n-n(2/3)^(n-1)
设Cn=n(2/3)^(n-1)前n项和为Tn
Tn=1*(2/3)^0+2*(2/3)^1+3*(2/3)^2+……+n*(2/3)^(n-1)①
2/3Tn=1*(2/3)^1+2*(2/3)^2+3*(2/3)^3+……+(n-1)(2/3)^(n-1)+n*(2/3)^n②
①-②，得：
1/3Tn=1*(2/3)^0+1*(2/3)^1+1*(2/3)^2+……+1*(2/3)^(n-1)-n*(2/3)^n=3*[1-(2/3)^n]-n*(2/3)^n
Tn=9*[1-(2/3)^n]-3n*(2/3)^n
Sn=(1+3n)*n/2-Tn=(1+3n)*n/2-3*[1-(2/3)^n]+n*(2/3)^n
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