高中数学代数 a≥b≥c≥0，a+b+c=3,证明：ab²+bc²+ca²≤27/8

a≥b≥c≥0，a+b+c=3,证明：ab²+bc²+ca²≤27/8

楼上要证明 ab²+bc²+ca²≤[（a+b+c）/2]^3，我也不知道如何证明。我个人觉得这个不等式项数不对等，加上 a≥b≥c≥0 条件必须存在（否则不等式不成立）， 这个不等式不好证明

a=b=3/2 c=0时不等式能取到等号
固定c的值，设a+b = 3-c = k , 先证明一下 a=b时才能取到最大值
ab²+bc²+ca²看做b的函数，求导数 -3b^2 + 2bk+c^2-c
b<=a，所以b<=k/2
导数在 (k-sqrt(k^2+3c^2-3c))/3 , (k+sqrt(k^2+3c^2-3c) )/3之间为正数，
k/2 < (k+sqrt(k^2+3c^2-3c) )/3 所以b = k/2时取到最大值，即a=b
a=b， 那么c = 3-2aab²+bc²+ca² = 3a^3 - 9a^2 + 9a 1<= a <= 3/2
a = 3/2时能取到最大值（也可以是求导的方式证明）over

2.(b+a）^2-a^2=3bc 化简得a^2=b^2+c^2-bc 由余弦定理得cosa=0.5,a=60 sina=sin(b+c)=sinbcosc+cosbsinc=sinbcosc 所以cosb=0或sinc=0 由其图像得b=90 所以是直角三角形

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