1. 已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3厘米，CB＝4厘米．

两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动．当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止．点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P运动时间为 （秒）．

（1）当时间 为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米2；
（2）当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化．设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（厘米2），求出S与时间 的函数关系式，并指出自变量 的取值范围；
（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．

(1) AB=5，设经过t秒，PC=3-t，CQ=2t，S=(3-t)2t/2=3t-t^2=2 =>t=1 (负值解略去)
(2) 当2t<=4时，S=3t-t^2
当2<t<=3时，P在AC上，Q在AB上，AP=t，AQ=5-2(t-2)=9-2t
S=t(9-2t)/2=9t/2-t^2
当3<t<=4.5时，P在BC上，Q在AB上，BP=4-(t-3)=7-t，BQ=2(t-2)
S=(7-t)(t-2)=-14+9t-t^2
(3)分别求出三段时间里的最大值。
S=3t-t^2=-(t-3/2)^2+9/4<=9/4 (0<t<=2)
S=9t/2-t^2=-(t-9/4)^2+81/16<=81/16 (2<t<=3)
S=-14+9t-t^2=-(t-9/2)^2+25/4<=25/4(3<t<=4.5)
所以最大值=25/4，此时Q到达A点。

解：（1） s△pcq= 1/2pc•cq= 1/2（3-t）•2t=（3-t）t=2， 解得t1=1，t2=2． ∴当时间t为1秒或2秒时，s△pcq=2厘米^2； （2）①当0＜t≤2时，s△pcq= 1/2pc•cq= 1/2（3-t）•2t=（3-t）t，s=-t^2+3t=-（t- 3/2）^2+ 9/4； ②当2＜t≤3时，s=s△abc-s△apq，即s= 4/5t^2- 18/5t+6= 4/5（t- 9/4）2+ 39/20； ③当3＜t≤4.5时，s=- 3/5t^2+ 27/5t- 42/5=- 3/5（t- 9/2）^2+ 15/4； （3）有： ①在0＜t≤2时，当t= 3/2，s有最大值，s1= 9/4； ②在2＜t≤3时，当t=3，s有最大值，s2= 12/5； ③在3＜t≤4.5时，当t= 9/2，s有最大值，s3= 15/4； ∵s1＜s2＜s3 ∴t= 9/2时，s有最大值，s最大值= 15/4． 图：d:\my documents\my pictures\f67f3ea4.jpg

解：（1） S△PCQ= 1 2 PC•CQ= 1 2 （3-t）•2t=（3-t）t=2， 解得t1=1，t2=2． ∴当时间t为1秒或2秒时，S△PCQ=2厘米2； （2）①当0＜t≤2时，S△PCQ= 1 2 PC•CQ= 1 2 （3-t）•2t=（3-t）t，S=-t2+3t； ②当2＜t≤3时，AQ=9-2t， 作PH⊥AB于H，则△BHP∽△ACB， ∴PH：BP=AC：AB ∴PH= 3(7-t) 5 ， ∴S=S△ABC-S△APQ，即S= 4 5 t2- 18 5 t+6； ③在3＜t≤4.5时，CP=t-AC=t-3，则BP=BC-PC=4-（t-3）=7-t， ∵△ABC∽△PBH， ∴ PH AC = BP AB ，即 PH 3 = 7-t 5 ， 故PH= 21-3t 5 ， 又∵BQ=2t-BC=2t-4， ∴S= 1 2 BQ•PH= 1 2 （2t-4）• 21-3t 5 =- 3 5 t2+ 27 5 t- 42 5 ； （3）有最大值． ①在0＜t≤2时，S=-t2+3t=-（t- 3 2 ）2+ 9 4 ，当t= 3 2 ，S有最大值，S1= 9 4 ； ②在2＜t≤3时，S= 4 5 t2- 18 5 t+6= 4 5 （t- 9 4 ）2+ 39 20 ，当t= 9 4 ，S有最大值，S2= 39 20 ； ③在3＜t≤4.5时，S=- 3 5 t2+ 27 5 t- 42 5 =- 3 5 （t- 9 2 ）2+ 15 4 ，当t= 9 2 ，S有最大值，S3= 15 4 ； ∵S2＜S1＜S3 ∴t= 9 2 时，S有最大值，S最大值= 15 4 ．

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