已知函数f(x)在(-1,1)上有定义,当且仅当0<x<1时,f(x)<0,且对定义域内任意x,y,都有f(x)+
答案:2 悬赏:40 手机版
解决时间 2021-02-08 18:09
- 提问者网友:夢醒日落
- 2021-02-08 04:44
已知函数f(x)在(-1,1)上有定义,当且仅当0<x<1时,f(x)<0,且对定义域内任意x,y,都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy).(1)证明函数f(x)为奇函数;(2)证明函数f(x)在(-1,1)上单调递减;(3)求满足不等式f(3-2x)+f(3x-4)<0的x的取值范围.
最佳答案
- 五星知识达人网友:酒者煙囻
- 2021-02-08 05:30
(1)证明:令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),即有f(0)=0,
由于定义域为(-1,1)关于原点对称,
令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),
则函数f(x)为奇函数;
(2)证明:令0<x1<x2<1,则0<x2-x1<1,1-x1x2>0,
x2-x1-1+x1x2=(1+x1)(x2-1)<0,即有0<
x2-x1
1-x1x2 <1.
则f(
x2-x1
1-x1x2 )<0,
令x=x2,y=-x1,则f(x2)+f(-x1)=f(
x2-x1
1-x1x2 )<0,
即有f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1).
则有f(x)在(0,1)内是单调递减函数,
由于函数f(x)是(-1,1)上的奇函数,
则f(x)在(-1,0)上也是单调递减函数,
且f(0)=0,函数f(x)在(-1,1)上连续,
故f(x)在(-1,1)上单调递减;
(3)解:由f(x)为奇函数,则
不等式f(3-2x)+f(3x-4)<0
即为f(3-2x)<-f(3x-4)=f(4-3x),
再由f(x)在(-1,1)上单调递减,
则
-1<3-2x<1
-1<4-3x<1
3-2x>4-3x ,即有
1<x<2
1<x<
5
3
x>1 ,
则1<x<
5
3 .
故所求的x的取值范围是(1,
5
3 ).
由于定义域为(-1,1)关于原点对称,
令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),
则函数f(x)为奇函数;
(2)证明:令0<x1<x2<1,则0<x2-x1<1,1-x1x2>0,
x2-x1-1+x1x2=(1+x1)(x2-1)<0,即有0<
x2-x1
1-x1x2 <1.
则f(
x2-x1
1-x1x2 )<0,
令x=x2,y=-x1,则f(x2)+f(-x1)=f(
x2-x1
1-x1x2 )<0,
即有f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1).
则有f(x)在(0,1)内是单调递减函数,
由于函数f(x)是(-1,1)上的奇函数,
则f(x)在(-1,0)上也是单调递减函数,
且f(0)=0,函数f(x)在(-1,1)上连续,
故f(x)在(-1,1)上单调递减;
(3)解:由f(x)为奇函数,则
不等式f(3-2x)+f(3x-4)<0
即为f(3-2x)<-f(3x-4)=f(4-3x),
再由f(x)在(-1,1)上单调递减,
则
-1<3-2x<1
-1<4-3x<1
3-2x>4-3x ,即有
1<x<2
1<x<
5
3
x>1 ,
则1<x<
5
3 .
故所求的x的取值范围是(1,
5
3 ).
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- 1楼网友:枭雄戏美人
- 2021-02-08 06:26
已知函数f(x)的定义域为(-1,1),f(1/2)=-1,当且仅当0x>y>-1
f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)
=f((x-y)/(1-xy))
x-y>0
0<1-xy<2
0<(1-xy)1/2
(x-y)/(1-xy)>0
f((x-y)/(1-xy))<0
f(x)为(-1,1)的减函数
3.f(1/x)<-2的解集(1,5/4)
-1<1/x<1
x>1 x<-1
f(1/2)+f(1/2)=f(4/5)=-2
f(1/x)4/5
x>1
x<5/4
取1-5/4
无解
4.证明t>2时,t²-2t>f(x)对于一切x∈(-1/2,1/2)恒成立是错误的
t²-2t=(t-1)²-1
t>2
t²-2t>0
在x∈(-1/2,1/2) 只有f(x)≤0 才能恒成立
f(-x)=-f(x)
f(1/2)=-1
f(-1/2)=1>0
命题是错误的
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