已知函数f(x)=x-alnx,g(x)=-(1+a)/x,若a =1，求函数f(x)的极值

已知函数f(x)=x-alnx,若a =1，求函数f(x)的极值

a=1,f(x)=x-lnx
f'(x)=x-1/x=(x-1)(x+1)/x
因为定义域为x>0
所以f'(x)=0只有一个极值点x=1
f"(x)=1+1/x^2>0，只能为极小值
故唯一的极小值为f(1)=1

a=1 f(x) =x-lnx f'(x) =1-1/x =0 x=1 f''(x) = 1/x^2>0 ( min ) min f(x) = f(1) = 1-ln1 = 1

分析：（ⅰ）先求出其导函数，让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间进而求出函数f（x）的极值； （ⅱ）先求出函数h（x）的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间； （ⅲ）先把f（x0）＜g（x0）成立转化为h（x0）＜0，即函数 h(x)=x+1+a/x-alnx在[1，e]上的最小值小于零；再结合（ⅱ）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a的取值范围．

点评：本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．

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