求由曲面z=2-x^2 ,z= x^2 + 2 y^2 所围成的立体的体积

求由曲面z=2-x^2 ,z= x^2 + 2 y^2 所围成的立体的体积

首先将两个方程并列找出两个曲面相交的曲线.通过消去z,我们得到：2-x²=x²+2y²即x²+y²=1所以,此曲线位于半径为1的圆柱面上.那么x和y的积分限很容易就找到了：x²+y²=1要找到z的积分限,就需要知道两个曲面哪个在上面,哪个在下面.因为所包的体积在圆柱内部,所以要求x²+y²x²+2y²,即z=2-x²在上面,z=x²+2y²在下面.根据上面的讨论,我们就可以写出体积分：V=∫∫dxdy∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz这里我用符号_(x²+2y²)来表达z积分的下限,^(2-x²)表达z积分的上限.(记住xy积分限是圆形x²+y²=1.)对z的积分很容易：∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz=(2-x²)-(x²+2y²)=2-2x²-2y²剩下的就是对xy的两重积分.V=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy这个积分最容易在极坐标里做.变换为极坐标时,x²+y²=r²,dxdy=rdrdφ.积分限为r从0到1,φ从0到2π.V=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy=∫_0^1(2-2r²)rdr∫_0^(2π)dφ两个积分各为：∫_0^(2π)dφ=2π∫_0^1(2-2r²)rdr=r²-(1/2)r^4|_0^1=1/2V=(1/2)2π=π所以体积是π.

就是这个解释

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