用五种方法解出不定积分∫1/(1+sinX)dx

当然有更多的方法更好

我就提供第一种方法先
∫dx/(1+sinx)使用代换,令F=tan(x/2),x=2arctanF
dx=2/(F²+1)dF
原式=2∫[{1/(F²+1)]/[1+sin(2arctanF)]}dF
=2∫{[1/(F²+1)]/[1+2F/(1+F²)]}dF
=2∫{[1/(F²+1)]/[(1+F²)+2F/(1+F²)]}dF
=2∫[dF/(1+2F+F²)]
=2∫[dF/(1+F)²]
=-2/(1+F)+C
代回=-2/[1+tan(x/2)]+C
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

解答：解法一：万能代换！ 令u＝tanx/2，则sinx＝2u/(1＋u²)，cosx＝(1－u²)/(1＋u²)，dx＝2du/(1＋u²)，于是得 ∫1/(sinx＋cosx)＝∫2/(1＋2u－u²)du ＝√2/2∫［1/(u－(1－√2))－1/(u－(1＋√2))］du ＝√2/2ln|(u－(1－√2))/(u－(1＋√2))|＋c ＝√2/2ln|(tanx/2－1＋√2)/(tanx/2－1－√2)＋c. 解法二： ∫dx/(sinx＋cosx)＝√2/2∫dx/(√2/2sinx＋√2/2cosx)＝√2/2∫dx/cos(x－π/4) ＝√2/2∫sec(x－π/4)d(x－π/4) ＝√2/2ln|sec(x－π/4)＋tan(x－π/4)|＋c.

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