区域|x|+|y|+|z|≤1求∫∫∫|x|+|y|+|z|dxdydz
答案:1 悬赏:40 手机版
解决时间 2021-01-28 09:48
- 提问者网友：富士山上尢
- 2021-01-28 04:20
区域|x|+|y|+|z|≤1求∫∫∫|x|+|y|+|z|dxdydz
最佳答案
- 五星知识达人网友：酒者煙囻
- 2021-01-28 04:42
答案：1
八面体|x| + |y| + |z| ≤ 1关于x =y = z对称
被积函数|x| + |y| + |z|，把变量随意调动，
|x| + |y| + |z|
|y| + |z| + |x|
|z| + |x| + |y|
还是没有任何改变，所以这题可用轮换对称性
设区域Ω₁为Ω在第一挂限的部分：
Ω₁为平面x + y + z ≤ 1，第一挂限
∫∫∫_(Ω) ( |x| + |y| + |z| ) dxdydz
= 8∫∫∫_(Ω₁) ( x + y + z ) dxdydz
= 8∫(0,1) dx ∫(0,1-x) dy ∫(0,1-x-y) (x + y + z) dz
= 8∫(0,1) dx ∫(0,1-x) (1/2)(- x² - 2xy - y² + 1) dy
= 8∫(0,1) (1/6)(x³ - 3x + 2) dx
= 8 * 1/8
= 1
八面体|x| + |y| + |z| ≤ 1关于x =y = z对称
被积函数|x| + |y| + |z|，把变量随意调动，
|x| + |y| + |z|
|y| + |z| + |x|
|z| + |x| + |y|
还是没有任何改变，所以这题可用轮换对称性
设区域Ω₁为Ω在第一挂限的部分：
Ω₁为平面x + y + z ≤ 1，第一挂限
∫∫∫_(Ω) ( |x| + |y| + |z| ) dxdydz
= 8∫∫∫_(Ω₁) ( x + y + z ) dxdydz
= 8∫(0,1) dx ∫(0,1-x) dy ∫(0,1-x-y) (x + y + z) dz
= 8∫(0,1) dx ∫(0,1-x) (1/2)(- x² - 2xy - y² + 1) dy
= 8∫(0,1) (1/6)(x³ - 3x + 2) dx
= 8 * 1/8
= 1
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