如何证明3的平方根+2的立方根为无理数

如何证明3的平方根+2的立方根为无理数

反证法，用奇偶性可证明。
假设√2+3√2=n=a/b 这里n,a,b为正整数，且a,b互质。
则3√2=(n-√2)
立方得：2=n3-3n2√2+6n-2√2
得：√2(3n2+2)=n3+6n-2
平方：2(3n2+2)2=(n3+6n-2)2
2b2(3a2+2b2)2=(a3+6ab2-2b3)2
因为左边为偶数，所以右边也须为偶数，而6ab2,2b都为偶数，故a3须为偶数，也即a为偶数。
令a=2k, 代入上式得：
2b2(12k2+2b2)2=(8k3+12kb2-2b3)2
两边除以4，化简得：2b2(6k2+b2)2=(4k3+6kb2-b3)2
左边仍然为偶数，所以右边也须为偶数，而4k3，6kb2都为偶数，故b3须为偶数，也即b为偶数。
这样a, b都为偶数，与前面a, b互质矛盾。
所以假设不成立。
因此√2+3√2为无理数。

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