二重积分:围成区域是(1,1)为圆心，半径为√2的圆，∫∫(-1)dxdy怎么算

二重积分:围成区域是(1,1)为圆心，半径为√2的圆，∫∫(-1)dxdy怎么算

X型：变量x的积分区间是常数，而变量y的积分区间是关於x的函数
从图中看到，积分区间正是两曲线的交点
所以联立两个曲线方程，解了就可以找到对应的积分区间
例如D1是由y = 2，y = 1/x和x = 1围成，左上角部分解y = 2和y = 1/x，右下角解y = 1/x，x = 1
D2是由y = 2，y = x和x = 1围成，左边是x = 1，右上角解y = 2和y = x
判断X型或Y型的方法就是在图中话一个箭头贯穿两条曲线
是X型的话，这箭头与y轴平行，对於D1：先穿越y = 1/x再穿越y = 2
对於D2：先穿越y = x再穿越y = 2
所以原积分要分裂为两个
是Y型的话，箭头与x轴平行，先穿越x = 1/y再穿越x = y，一条式子就解决了

计算二重积分∫∫d(1-2x-3y)dxdy,d为圆x²+y²=1所围成的区域 解：两种算法结果是一样的！如果不一样，那就是算错了！用直角坐标时，最后要用变量替换才 能求出最后结果，替换后就会出来π。 先用极坐标计算： 原式=【0，2π】∫dθ【0，1】∫(1-2rcosθ-3rsinθ)rdr =【0，2π】∫dθ[(r²/2)-(2r³/3)cosθ-r³sinθ]【0，1】 =【0，2π】∫[(1/2)-(2/3)cosθ-sinθ]dθ=[(1/2)θ-(2/3)sinθ+cosθ]【0，2π】=π 再用直角坐标计算： 原式=【-1，1】∫dx【-√(1-x²)，√(1-x²)】∫(1-2x-3y)dy =【-1，1】∫dx[y-2xy-(3/2)y²]【-√(1-x²)，√(1-x²)】 =【-1，1】∫[2√(1-x²)-4x√(1-x²)]dx【令x=sinu，则dx=cosudu；x=-1时u=-π/2；x=1时u=π/2】 =【-π/2，π/2】[2∫cos²udu-4∫sinucos²udu] =【-π/2，π/2】[(1/2)∫(1+cos2u)d(2u)+4∫cos²ud(cosu)] =[(1/2)(2u+sin2u)+(4/3)cos³u]【-π/2，π/2】=[π/2+(4/3)-(-π/2)-(4/3)]=π

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