未被证明的猜想：卡迈克猜想
众所周知，
1、费尔马小定理的逆定理是不成立的，1819年，法国数学家沙路斯首先发现，虽然341整除2^340-1,但是341=11*31，却是合数。像这样的数称为伪素数，已经证明伪素数有无穷多个。（费尔马小定理是：如果p是素数，a只一个正整数，那么p整除a^p-1)
人们自然会想到，如果n能够整除一切形如a^(n-1)-1（a与n互素）的数，则n总该是素数了吧？结果并不如此简单，竟然有这样的数n,它能整除所有的a^(n-1)-1（a与n互素）。这种极端的伪素数就称为卡迈克数，因为美国数学家卡迈克首先研究了这种极端伪素数，他发现561能整除一切a^(n-1)-1（a与n互素）的数，但是561=3*11*17，卡迈克还得出了一个判定卡迈克数的定则：
（1）n不包含平方因数
（2) n是奇数，至少含有三个不同的素因数
（3）对于n的每一个素因数，n-1能被p-1整除
例如，8911=7*19*67，显然满足条件（1）、（2），7-1=6、19-1=18、67-1=66都能整除8911-1=8910，即满足条件（3），故8911是卡迈克数。
不超过100000的16个卡迈克数如下：
561，1105，1729，2465，2821，6601，8911，10585，15841，29341，41041，46657，52633，62745，63973，75361。
一直困惑人们的问题是：
（1）如前述，以a为底的伪素数有无穷多，但同时以两个不同正整数a,b为底的伪素数是否也有无穷多？尚不知晓，甚至连a=2,b=3的特殊情形也没有解决。
（2）卡迈克数是否有无穷多个？
这就是有关卡迈克数的猜想。
2、反序数问题
将一个十进制数的各位数字按相反的顺序重新排列成一个正整数,则称这两个数互为反序数.数a的反序数记为rev(a).例如,rev(42)=24, rev(180)=81.如果rev(a)=a,则称为回文数,如15351. 人们注意到65+56=112,65-56=32.即这一对反序数65与56的和,差都是平方数.这样的数还有: 621770+77126=8362,621770-77126=7382. 不难证明,形如(2*10n + 2)2/2 ,(2*102n + 2*10n + 2)2/2 ,(2*103n+m + 2*102n+m + 2*10n + 2)2/2 的回文数都具有上述性质,其中n是自然数,m是非负整数.除了这些回文数之外,还有多少个正整数a使得a+/-rev(a)都是完全平方数?
中国科学院的张建对此进行了研究.他将原问题变换为下列等价问题:求自然数组(m,n),m>n,使得(m2+n2)/2与(m2-n2)/2互为反序数,且满足条件:
(一)m与n奇偶性相同
(二)n能被3整除. 其中条件(一)可以保证(m2+/-n2)/2都是整数,而条件(二)是因为反序数之差能被9整除,例如,(abc)-(cba)=(a*102+b*10+c)-(c*102+b*10+a)=99(a-c).而现在反序数之差为(m2+n2)/2-(m2-n2)/2=n2.故n2 能被9整除.在计算机上计算数小时后,得出如下结果:
在不超过1010的自然数中,只有五个数满足要求,除了前面已经给出的两个外,另外三个是:281089082 + 280980182 = 237082,差 = 3302 2022652202 + 2022562202 = 636022,差 = 3002 2042832002 + 2002382402 = 636022,差 = 63602 这种数究竟有多少?是有限个还是无穷多个?它们有何特性?还有待我们去研究,去发现.
3、平方数猜想
可以证明,用同一个数字1,2,3,...,9组成的十进制数,只有1,4,9是完全平方数,换句话说,在11,111,1111,...;22,222,2222,...;
99,999,9999,...;中没有完全平方数.
由此可知,除了1,4,9之外,一个完全平方数至少是由两个不同的数字组成的.下面是一些用两个不同数字组成的完全平方数:
25,49,64,81,225,1444,7744,11881,29929,44944,55225,9696996.
希托突玛图(S.Hitotumatu)提出了一个猜想:除了102n,4*102n,9*102n之外,由两个数字组成的完全平方数只有有限个.这个猜想至今未获证明.
一般地,对于k个(2,3,...9)不同数字组成的完全平方数,能做出什么结论呢?我们知道,完全平方数有无穷多个,因此,至少有一个k,由k个不同的数字组成的完全平方数有无穷多个,是哪一个k具有这样的性质呢?
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