求证积分
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解决时间 2021-03-23 22:38
- 提问者网友：暮烟疏雨之际
- 2021-03-23 11:15
求证积分
最佳答案
- 五星知识达人网友：迟山
- 2021-03-23 11:37
解：积分表达式是不是“∫(-∞,∞)x^2dx/{(1+e^x)[1+e^(-x)]}”？若是，分享一种解法，转化成无穷级数、利用“∑1/(n+1)^2=(1/6)π^2，n=0,1,2,……，∞”求解。
将积分区间拆分为(-∞,0]∪[0,∞)，并对前一个积分设x=-t变换，∴原式=2∫(0,∞)x^2dx/{(1+e^x)[1+e^(-x)]}。
设e^(-x)=t，dx=-dt/t，∴原式=2∫(0,1)(lnt)^2dt/(1+t)^2=……=-4∫(0,1)lntdt/(1+t)。
又，丨t丨<1时，1/(1+t)=∑(-t)^n，n=0,1,2,……，∞。
∴原式=-4∑[(-1)^n]∫(0,1)(t^n)lntdt。用分部积分法，有∫(0,1)(t^n)lntdt=-1/(n+1)^2，
∴原式=4∑[(-1)^n]/(n+1)^2=4[∑1/(n+1)^2-(2/4)∑1/(n+1)^2]=(1/3)π^2。供参考。
将积分区间拆分为(-∞,0]∪[0,∞)，并对前一个积分设x=-t变换，∴原式=2∫(0,∞)x^2dx/{(1+e^x)[1+e^(-x)]}。
设e^(-x)=t，dx=-dt/t，∴原式=2∫(0,1)(lnt)^2dt/(1+t)^2=……=-4∫(0,1)lntdt/(1+t)。
又，丨t丨<1时，1/(1+t)=∑(-t)^n，n=0,1,2,……，∞。
∴原式=-4∑[(-1)^n]∫(0,1)(t^n)lntdt。用分部积分法，有∫(0,1)(t^n)lntdt=-1/(n+1)^2，
∴原式=4∑[(-1)^n]/(n+1)^2=4[∑1/(n+1)^2-(2/4)∑1/(n+1)^2]=(1/3)π^2。供参考。
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