如何用三个量确定平面上一个正方形

如何用三个量确定平面上一个正方形

可以这样来思考,首先,我们知道,对角线的位置可以唯一确定一个正方形,
而对角线上的顶点唯一确定了这条线,对于每一个顶点,需要两个变量来进行确定,
即点的横坐标和纵坐标.
对角线两个点,因此{x1,y1;x2,y2}可以唯一确定正方形,考虑如下一个集合：
{（x1,y1,x2,y2）|各元素在R空间},这个集合显然和直角坐标系下的正方形建立了一一对应的关系,也就是说,4个变量可以确定一个正方形.
同时,这个空间可以定义其内部的加法和数乘,从而可以构成一个线性空间.
这个线性空间其实就是所有正方形所构成的几何
如果这个线性空间的基底为4个,那么也就是说这个线性空间的维数为4.
问存在是否存在3个量确定这个正方形,其实问题也就是等价于,是否存在一个空间,这个空间只决定于3个变量,而这个空间要求等价于正方形所组成的空间,也就是上面的那个4维空间.
而根据同构的性质,不可能存在一个3维的线性空间,使之这两个空间同构.
因为空间的同构,是建立在一一对应的基础上的.（一个基底对应一个基底）
因此,我们只需要证明{（x1,y1,x2,y2）|各元素在R空间}为四维空间即可.
这个显然是一个R4空间,也就是4维的.
从而3个量不能确定一个正方形.
当然,你所说的反证法也是一种很好的证明办法.
不过还是需要以{（x1,y1,x2,y2）|各元素在R空间}作为中间桥梁,
考虑这个三维空间不可以使用3个量表示.
（假设可以,则x1=x1(a,b,c),x2=x2(a,b,c),……最后证明这个{（x1,y1,x2,y2）|各元素在R空间}不是一个4维空间,与是4维空间矛盾）
如果更加严密的证明,恐怕需要到代数拓扑方面的知识了.

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