如果不用数学归纳法,如何证明当n是自然数时,n(n+1)(2n+1)能被6整除?

如果不用数学归纳法,如何证明当n是自然数时,n(n+1)(2n+1)能被6整除?

没有楼上解得那么麻烦,而且如果知道n(n+1)(2n+1)=1^2+2^2...+n^2,也不用证了,
思路：只要能证明n(n+1)(2n+1)能同时被2和3整除,n(n+1)(2n+1)就能被6整除.
证：
n,n+1必为一奇一偶,n(n+1)(2n+1)能被2整除.
是否能被3整除,需要分类讨论.
n为3的倍数时,n(n+1)(2n+1)能被3整除.
n不是3的倍数时,n=3k+1或n=3k+2(k为自然数,包括0）.
n=3k+2时,n+1=3k+2+1=3(k+1),是3的倍数,n(n+1)(2n+1)能被3整除.
n=3k+1时,2n+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1),是3的倍数,n(n+1)(2n+1)能被3整除.
综上,n(n+1)(2n+1)能同时被2和3整除,因此能被6整除.

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