证明方程x^5+x=1有正实根 零点定理
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解决时间 2021-02-14 03:32
- 提问者网友：却不属于对方
- 2021-02-13 06:44
证明方程x^5+x=1有正实根 零点定理
最佳答案
- 五星知识达人网友：慢性怪人
- 2021-02-13 07:36
设f(x)=x^5+x-1
则f'(x)=5x^4+1
∵x^4>=0
∴f'(x)>=1>0
∴f(x)是增函数
∵f(0)=-1<0
又∵f(x)是增函数
则必有一个根x0>0
使f(x0)=x0^5+x0-1=0
x0^5+x0=1
∴方程x^5+x=1有正实根
则f'(x)=5x^4+1
∵x^4>=0
∴f'(x)>=1>0
∴f(x)是增函数
∵f(0)=-1<0
又∵f(x)是增函数
则必有一个根x0>0
使f(x0)=x0^5+x0-1=0
x0^5+x0=1
∴方程x^5+x=1有正实根
全部回答
- 1楼网友：等灯
- 2021-02-13 08:52
证明：设f(x)=ln(x+1)-3
当x=0时，f(0)=-3<0
当x=e^3时，f(x)=ln(e^3+1)-3>ln(e^3)-3=0
明显f(x)在区间[0,e^3]上连续，由零点定理知，在上述区间至少存在一点x0使x=x0时，f(x0)=0
即所给方程至少正在一正根。
- 2楼网友：零点过十分
- 2021-02-13 08:32
设y=x^5+x-1
y′=5x^4+1>0
所以 函数单调增所以与x轴至多有一个交点
当x=0 y=-1
当x=1 y=1
所以 在(0,1)内有一个值使得y=0
所以x^5+x-1=0有一个正根
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