已知函数f(x)=x^2+x-ln(x+1).(Ⅰ)若关于x的方程f(x)=(5/2)x+m在区间[0,2]上恰有两个不

已知函数f(x)=x^2+x-ln(x+1).(Ⅰ)若关于x的方程f(x)=(5/2)x+m在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数
已知函数f(x)=x^2+x-ln(x+1).
(Ⅰ)若关于x的方程f(x)=(5/2)x+m在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数m的取值范围.
（Ⅱ）证明：对任意正整数n>1,不等式1+1/2+1/3+·······1/(n-1)>ln[(n+1)/2]都成立.

f(x)=x^2+x-ln[x+1]
(1)若关于x的方程f(x)=5x/2+m在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数m的取值范围；
f(x)=x^2+x-ln[x+1]=5x/2+m
化简得：x^2-3x/2-ln[x+1]-m=0
记g(x)= x^2-3x/2-ln[x+1]-m
g(x)的定义域为：x>-1
由g’(x)=2x-3/2-1/(x+1)=0,解得：x=-5/4（舍去）或1
所以g(x)只有一个极值点x=1,位于[0,2],且取得最小值.
所以在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,要求：
g(1)ln{(k+1)/2}成立
则n=k+1时,
左边=1+1/2+1/3+……+1/k-1+1/k>ln{(k+1)/2}+1/k
右边=ln{(k+2)/2}
目标证明：
ln{(k+1)/2}+1/k>ln{(k+2)/2}
等价：1/k>ln{(k+2)/2}-ln{(k+1)/2}=ln[(k+2)/(k+1)]
等价：e^(1/k)>(k+2)/(k+1)=1+1/(k+1)
等价：e>{1+1/(k+1)}^k
由于f(k)={1+1/(k+1)}^k的极限为e,且为递增函数.
所以e>{1+1/(k+1)}^k成立.
因此n=k+1时,不等式也成立
即对于所有n>1不等式1+1/2+1/3+……+1/n-1>ln{(n+1)/2}成立.
故得证.

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