求实数m的取值范围，使关于x的方程：x^2+2(m-1)x+2m+6=0

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解决时间 2021-11-09 03:51

提问者网友：未信
2021-11-08 07:05

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五星知识达人网友：老鼠爱大米
2021-11-08 08:01

1）Δ=4（m-1）^2-4(2m+6)=4(m^2-4m-5)=4(m-5)(m+1)
当Δ>0时，有两实根。
解得m<-1或m>5
2)由韦达定理，
x1+x2=-2(m-1)
x1*x2=2m+6
至少有一个正根，分为一正一负，两个正根，和一个0根一个正根三种：
当一根为0时，2m+6=0，m=-3，带入原方程，x=0或8，满足题意
一正一负，两根之积小于0。2m+6<0.得m<-3
两正根，两根和、积均大于0。得-3综上，m<1
但还需考虑方程一定有实根：Δ≥0，既m≤-1或m≥5

因此，综合的结果是m≤-1时，至少有一个正根。

3）抛物线y=x^2+2(m-1)x+2m+6开口向上
2位于两根之间，因此x=2对应的y值小于0
2^2+2(m-1)*2+2m+6<0
6m+6<0
m<-1
[或按Δ>0且（x1-2）*(x2-2)<0计算]

4)两个大于1的实根，需满足：
Δ>0
x1+x2>2
(x1-1)*(x2-1)>0

即m<-1或m>5
且m<0
且m>-5/4

得-5/4
5）抛物线y=x^2+2(m-1)x+2m+6开口向上
由题意：
y(0)>0
y(1)<0
y(4)>0

带入得：
2m+6>0
4m+5<0
10m+14>0

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