已知函数y=f（x）的图象与函数y=ax-1（a＞1）的图象关于直线y=x对称．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（

已知函数y=f（x）的图象与函数y=ax-1（a＞1）的图象关于直线y=x对称．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[m，n]（m＞-1）上的值域为[loga
p
m ，loga
p
n ]，求实数p的取值范围；
（3）设函数g（x）=loga（x2-3x+3），F（x）=af（x）-g（x），其中a＞1．若w≥F（x）对?x∈（-1，+∞）恒成立，求实数w的取值范围．

（Ⅰ）∵函数y=f（x）的图象与函数y=ax-1（a＞1）的图象关于直线y=x对称，
∴y=f（x）是y=ax-1（a＞1）的反函数．
在y=ax-1（a＞1）中，
∵ax=y+1，∴x=loga（y+1），
互换x，y，得到f（x）=loga（x+1）．…（3分）
（Ⅱ）因为a＞1，所以f（x）=loga（x+1）在（-1，+∞）上为单调递增函数．
所以f（x）=loga（x+1）在区间[m，n]（m＞-1）上为单调递增函数．
∵f（x）在区间[m，n]（m＞-1）上的值域为[loga
p
m ，loga
p
n ]，
∴f（m）=loga(m+1)＝loga
p
m ，
f（n）=loga（n+1）=loga
p
n ，
即m+1=
p
m ，n+1=
p
n ，n＞m＞-1．
所以m，n是方程x+1=
p
x ，
即方程x2+x-p=0，x∈（-1，0）∪（0，+∞）有两个相异的解，
这等价于







△＝1+4p＞0
(?1)2+(?1)?p＞0
?
1
2 ＞?1 ，…（6分）
解得-
1
4 ＜p＜0为所求．
故实数p的取值范围是（-
1
4 ，0）． …（8分）
（Ⅲ）∵g（x）=loga（x2-3x+3），
∴F（x）=af（x）-g（x）=aloga(x+1)?loga(x2?3x+3)
=
x+1
x2?3x+3 ，x＞-1．
∵(x+1)+
7
x+1 ?5≥2



7 ?5，
当且仅当x=



7 ?1时等号成立，
∴
x+1
x2?3x+3 =
1
(x+1)+
7
x+1 ?5 ∈（0，
2



7 +5
3 ]，
∴F（x）max=F（



7 ?1）=
2



7 +5
3 ，
因为w≥F（x）恒成立，∴w≥F（x）max，
所以实数w的取值范围是[
2



7 +5
3 ，+∞）．…（13分）

∵函数y=f（x）的图象与函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称， ∴f（x）=logax（x＞0）． g（x）=f（x）[f（x）+f（2）-1]=logax（logax+loga2-1） =(logax+ loga2?1 2 )2- (loga2?1)2 4 ， ①当a＞1时，y=logax在区间[ 1 2 ，2]上是增函数，∴logax∈[loga 1 2 ，loga2]． 由于y=g（x）在区间[ 1 2 ，2]上是增函数，∴ 1?loga2 2 ≤loga 1 2 ，化为loga2≤-1，解得a≤ 1 2 ，应舍去． ②当0＜a＜1时，y=logax在区间[ 1 2 ，2]上是减函数，∴logax∈[loga2，loga 1 2 ]． 由于y=g（x）在区间[ 1 2 ，2]上是增函数，∴ 1?loga2 2 ≥loga 1 2 ，解得0＜a≤ 1 2 ． 综上可得：0＜a≤ 1 2 ． 故选：d．

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