求助一道高数题~~

全面分析函数的性态并绘出图形。函数为y=x*ln(e+1/x).

解:分析如下:

1.定义域:x∈(-∞,-1/e)∪(0,+∞)

2.奇偶性:定义域不关于原点对称,为非奇非偶函数

3.周期性:无

4.单调性:

求导:y'=ln(e+1/x)-[1/(ex+1)]

y'的正负性一时无法判断,故再次求导

y''=-1/[x(ex+1)^2]

由此发现:x>0时y''<0,x<0时y''>0

故x<0时y'单调增,x>0时y'单调减

又有:

lim(x→∞)y'=1

故y'>1>0恒成立

故函数y=x*ln(e+1/x)始终单调增

5.凸性:

x>0时y''<0,x<0时y''>0

故函数在(0,+∞)上凸,在(-∞,-1/e)下凸

6.渐近线:

lim(x→(-1/e)-)y=∞

故x=-1/e为铅直渐近线

lim(x→∞)y/x=lim(x→∞)ln(e+1/x)=1

lim(x→∞)(y-x)=x[ln(e+1/x)-1]=1/e

斜渐近线:y=x+1/e

7.间断点:

x=-1/e为无穷间断点

lim(x→0)y=lim(x→0)x*ln(e+1/x)=0

x=0处为可去间断点

函数性态讨论完毕,其图象如下:

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