对任意自然数n，求证：3x52n+1+23n+1能被17整除。

答案:4 悬赏:80 手机版

解决时间 2021-01-27 05:54

提问者网友：别再叽里呱啦
2021-01-26 06:01

最佳答案

五星知识达人网友：想偏头吻你
2021-01-26 07:19

题目太乱了，是不是这样：3*5^(2n+1)+2^(3n+1)
3*5^(2n+1)=3*5*5^2n=15*25^n,
2^(3n+1)=2*2^3n=2*8^n
原式=15*25^n+2*8^n，由于25与8关于17同余，所以原式与15*8^n+2*8^n关于17同余
原式与17*8^n关于17同余，所以原式能被17整除

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1楼网友：酒醒三更
2021-01-26 09:01

题是错的，对n=1就不成立~~~

2楼网友：鱼忧
2021-01-26 07:50

对任意自然数n，求证：3x52n+1+23n+1能被17整除
3*5^(2n+1)+2^(3n+1)
3*5^(2n+1)=3*5*5^2n=15*25^n,
2^(3n+1)=2*2^3n=2*8^n
原式=15*25^n+2*8^n，由于25与8关于17同余，所以原式与15*8^n+2*8^n关于17同余

3楼网友：鸠书
2021-01-26 07:40

用数学归纳法
具体要教吗追问请把具体的运算过程写出来追答当N＝1，2，3时等式成立即能被17整除
假设N＝K时（K∈N※，N≥4）时 3x5（2k+1）+2（3k+1）能被17整除
即N＝K＋1 时 3x5（2k＋1+1）+2（3k＋1+1）
＝ 3x5（2k+1）×25+2（3k+1）×8
＝ 3x5（2k+1）×17＋3x5（2k+1）×8+2（3k+1）×8
＝ 3x5（2k+1）×17＋【3x5（2k+1）+2（3k+1）】×8
∵3x5（2k+1）×17能被17 【3x5（2k+1）+2（3k+1）】×8能被17整除
∴对任意自然数n，3x52n+1+23n+1能被17整除得证

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