已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，bn=an+1．（1）证明：数列{bn}是等比数列；（2）令cn＝n+1an+1，求数

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解决时间 2021-03-14 05:10

提问者网友：做自己de王妃
2021-03-13 19:04

已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，bn=an+1．（1）证明：数列{bn}是等比数列；（2）令cn＝n+1an+1，求数列{cn}的前n项和Sn．

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五星知识达人网友：長槍戰八方
2021-03-13 19:20

（1）∵a1=1，an+1=2an+1，bn=an+1，an+1
∴
bn+1
bn =
an+1+1
an+1 =2，又b1=a1+1=2，
∴数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列；
（2）由（1）知，bn=2n，
∴an=2n-1；…（5分）
∴cn=
n+1
an+1 =
n+1
2n ，
∴Sn=c1+c2+…+cn=
2
21 +
3
22 +…+
n+1
2n ，①
∴
1
2 Sn=
2
22 +
3
23 +…+
n
2n +
n+1
2n+1 ，②
①-②得：
1
2 Sn=
2
21 +
1
22 +
1
23 +…+
1
2n -
n+1
2n+1
=
1
2 +

1
2 [1?(
1
2 )n]
1?
1
2 -
n+1
2n+1
=
1
2 +1-(
1
2 )n-
n+1
2n+1 ，
∴Sn=3-(
1
2 )n?1-（n+1）?(
1
2 )n…（12分）

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1楼网友：佘樂
2021-03-13 19:56

a[n+1]=2an+2n ==>a[n+1]+2(n+1)+2=2(an+2n+2) 显然{an+2n+2}是首项为a1+2×1+2==a1+4，公比为2的等比数列则an+2n+2=(a1+4)×2^n ==>an=(a1+4)×2^n-2n-2

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