设n阶非零实数矩阵A满足A的伴随矩阵等于A的转置，试证A的行列式等于一，且A为正交矩阵

设n阶非零实数矩阵A满足A的伴随矩阵等于A的转置，试证A的行列式等于一，且A为正交矩阵

首先, 当n > 1, 关于伴随矩阵的秩, 有如下结果:
若r(A) = n, 则r(A*) = n;
若r(A) = n-1, 则r(A*) = 1;
若r(A) < n-1, 则r(A*) = 0.

证明: 当r(A) = n, 有A可逆, |A| ≠ 0.
于是由A*A = |A|·E可得A* = |A|·A^(-1)也可逆.
当r(A) = n-1, A有非零的n-1阶子式, 故A* ≠ 0, r(A*) ≥ 1.
又A*A = |A|·E = 0, 故r(A*)+r(A) ≤ r(A*A)+n = n, 即得r(A*) = 1.
当r(A) < n-1, A的n-1阶子式全为0, 故A* = 0, r(A*) = n.

回到原题, 由条件A* = A'得r(A*) = r(A') = r(A).
当n > 2, 根据前述结论, 只有r(A) = n, 故|A| ≠ 0.
对A*A = |A|·E取行列式得|A*|·|A| = |A|^n.
于是有|A|^2 = |A'|·|A| = |A*|·|A| = |A|^n, 解得|A| = 1 (|A|为非零实数).
进而得A'A = A*A = E, 即A为正交矩阵.

n = 1, 2时是有反例的, 例如A = 2E.

首先，a是正交阵。因此行列式为+1或-1，由题目要求，有|a|=-1 其次，a伴随/|a| = a的逆 = a^t 故a伴随 = -a^t 因此a的特征值的相反数就是a伴随的特征值 根据你的修改，我做出一些修改 这个题出的很妙，又考了伴随矩阵又考了特征值 由于|a+i|*|a^t| = |(a+i)*a^t| = |a^t+i| = |a+i| 又|a| = |a^t| = -1 因此，-|a+i| = |a+i| 也就是说|a+i| = 0 因此“1”一定是a的特征值 故“-1”一定是a伴随的特征值 我第一遍的回答吧这题想的太简单了 没有注意到正交阵特征值的特殊性质，请见谅

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