边长为正整数且面积等于周长的直角三角形有几个？

如标题

共有2个

解：

设 直角三角形三边长分别为正整数x,y,z(x≤y＜z)，则x²+y²=z²

x+y+z=xy/2

消去z可以得到：

(x-4)(y-4)=8

∴x-4,y-4都是8的约数

∴x=5，y=12，z=13

或x=6，y=8，z=10

∴共有2个

解：设三角形的最短的边为x（x为整数），另一个直角边为kx（k大于等于1），斜边为x（1+k^2）^1/2 注：^1/2为1/2次方，k^2为k的平方 由题意得：0.5kx^2=[1+k+（1+k^2）^1/2 ]x 解出 x=2+2[1+（1+k^2）^1/2]/k 令 [1+（1+k^2）^1/2]/k=t， 由于x为整数，所以t的取值为 0，1/2，2/2，3/2，4/2，5/2…… 解出k=t/（t^2-1）,由题意k大于等于1， 即t/（t^2-1）大于等于1，验证得知t=3/2，4/2满足题意，t大于4/2时k小于1，t小于3/2时k无解， 由t的值代入可解出k=12/5，4/3 当k=12/5时，三角形的三边为 x 12x/5 13x/5 得出三角形为 5，12，13，满足题意 由于面积和边长成平方关系，周长和边长成线性关系，所以这个三角形的三边的长度值是唯一的 同理，k=4/3 时，可得出一个三角形 6，8，10，这个三角形的三边在满足k的比例关系时，三边的边长也是唯一的

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