A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使∠OPA＝π2，则椭圆离心率的范围是______

A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使∠OPA＝π2，则椭圆离心率的范围是______．

设椭圆的方程为
x2
a2 +
y2
b2 ＝1，设 A （a，0），点P（acost，bsint）．
 由题意得，




PO  ?




PA =0，∴（-acost，-bsint）?（a-acost，-bsint）=0，
∴（-acost ）?（a-acost ）+b2sin2t=0，化简可得 c2cos2t-a2cost+a2-c2=0，
∴e2cos2t-cost+1-e2=0，∴e2=
1
1+cost ．
又∵0＜e＜1，0＜1+cost＜2，∴
1
2 ＜e2＜1，∴




2
2 ＜e＜1，
故答案为




2
2 ＜
c
a ＜1．

呵呵，打字较烦，我讲一下思路 设椭圆的标准方程，若存在点p,因为∠opa= 90度，即p在以oa为直径的圆上，可得圆方程，与椭圆方程联立，消去y，整理成关于x的一元二次方程，则判别式>=0,可得关于a,b的不等式，而它恒成立，因此肯定存在点p。则离心率任意。

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