P是圆O的直径AB延长线的一点,PCD交圆O于点C,D.弦DF⊥AB于点H,CF交AB于E.①求证

P是圆O的直径AB延长线的一点,PCD交圆O于点C,D.弦DF⊥AB于点H,CF交AB于E.①求证

第一问 PO× PE=PD× PC 第二问 若DE垂直于CF, ∠P=15度 , 圆0O的半径为2 求弦CF的长

1）连结OD,
因为 圆心角角AOD对于弧AD,弧AD是弧DF的一半,而 圆周角DCF对应弧DF,所以有 ：
∠AOD＝∠DCF
∵∠DOP＝180°-∠AOD,∠ECP＝180°-∠DCF,
∴∠DOP＝∠ECP,
又∠P为公共角,∴△DOP和△ECP相似,
∴PO：PC＝PD：PE∴PC×PD＝PO×PE
又PC×PD＝PB×PA
∴PB×PA＝PO×PE
（2）
∵AB是直径,DF⊥AB
∴ED＝EF
又DE⊥CF
∴△DEF是等腰直角三角形,∠F＝∠EDF＝45°
∴∠AEF＝∠AED＝45°
∴∠DCF＝∠P+∠CEP＝15°+45°＝60°
∴∠AOD＝60°,∠HDO＝∠EDC＝30°,
∵OD＝2,则DH＝√3,EF＝DE＝√2DH＝√6,CE＝tan30°×DE＝√2.
∴CF＝CE＋EF＝√6＋√2

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