一道高一数学的题目

若对任意实数x，二次函数f(x)=x^2-4ax+2a+30(a属于R）的值均为非负数

1）求实数a的取值范围

2）求关于x的方程x/(a+3)=|a-1|+1的根的范围

(1)f(x)=x^2-4ax+2a+30的值均为非负数

则f(x)与x轴最多有一个交点

即方程f(x)=0无实数解或有两相等根

所以Δ<=0

即(-4a)^2-4(2a+30)<=0

解得-5/2<=a<=3

(2)易得x=(|a-1|+1)*(a+3)

1.当3>=a>=1时,x=((a-1)+1)*(a+3)=a^2+3a=(a+3/2)^2-9/2

a在此范围内x为增函数

a=3时取最大值 3^2+3*3=18

a=1时取最小值1^2+3*1=5

2.当-5/2<=a<=1时,x=(-(a-1)+1)*(a+3)=-a^2-a+6=-(a+1/2)^2+25/4

a=-1/2时取最大值25/4

a=-5/2时取最小值-(-5/2+1/2)^2+25/4=9/4

综上得x的范围为[9/4,18]

1)因为对任意实数x有 F(X)=(X-2a)^2-4a^2+2a+30>=0 所以-4a^2+2a+30>=0 (a-3)(2a+5)<=0 -5/2=<a<=3本问也可用根判别式小于等于0求答

2) x=(Ia-1l+1)(a+3)讨论

若a<1则x=(2-a)(a+3)=-(a+1/2)^2+25/4图像开口向下a=-1/2取最大值25/4，a=1时x=4,a=-5/2时x=9/4则9/4<=x<4

若1<=a<=3则x=a(a+3)=(a+3/2）^2-9/4可知a在索取值范围递增 所以a=1时x=4,a=3时x=18所以4<=x<=18

综上所述9/4〈=X〈=18

（1）f(x)的值为非负，且此二次函数开口向上，则说明Δ>=0,即16a^2-4(2*a+30)>=0 （2a+5)(a-3)>=0

解得a<=-5/2或a>3;

(2) 由（1）易得|a-1|=a-1，则此方程化简得x=a(a+3),又得到一个二次函数，根据二次函数的性质，易得开口向上，最低点为（-3/2，-9/4）对称轴x=-3/2，在-3/2左边函数递减的，在-3/2右边函数递增的，且-5/2在对称轴左边则x<(-5/2)*(-5/2+3)=-5/4,且x>3*(3+3)=27,即x<-5/4或x>27 即为此关于x的方程的根；

点评：此题主要考察二次函数的性质，应熟练掌握二次函数的性质，例如开口方向、与x轴交点情况等等，巧用图像，多用图像。

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