关于等差数列

设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，已知a3=12，S12＞0，S13＜0。

 

（1）求公差d的范围；

（2）问前几项的和最大，并说出理由

S12＝（a1+a12）*12/2>0
a1+a12>0,a6+a7>0
S12=(a1+a13)*13/2<0
a1+a13<0,2a7<0,a7<0
所以a6>0,a7<0，因此前6项和最大

a6=12+3d>0得a>-4

a7=12+4d<0得a<-3

a6+a7=24+7d>0得a>-24/6

三者取交集得-24/7<d<-3

由题意可知奇数项有n+1项，偶数项有n项s奇-s偶=132/(n+1)=132-120=12解得n=10

1,由S12＞0，S13＜0得，a13<0，又因a3=12

故a13-a3=-10d>12，可得d<-6/5

同时S12=12a1+66d=12(a1+2d)+42d=12a3+42d=144+42d>0 可得d>-24/7

所以-24/7<d<-6/5

2,（因为d是一个范围，所以要根据d讨论）

令an<0,即a3+(n-2)d=12+（n-2)d<0

可得n>2-12/d

所以当-24/7<d<-12/4时，S6最大

-12/4<d<-12/5时，S7(等于-12/5时，S7=0,S6=S7，所以都一样，下面也是如此）

-12/5<d<-12/6时,S8

-12/6<d<-12/7,,,,,S9

-12/7<d<-12/8,,,,S10

-12/8<d<-12/9,,,S11

-12/9<d<-12/10,,,S12（不化简，是为了看着方便而已

S12＝（a1+a12）*12/2>0 a1+a12>0,a6+a7>0 S12=(a1+a13)*13/2<0 a1+a13<0,2a7<0,a7<0 说明a6>0,a7<0 说明S6最大。从第7项开始Sn递减。

a7=12+4d<0，所以 d<-3; a6+a7=24+7d>0，所以 d>-24/7. 因此d的取值范围是 -24/7<d<-3.

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