已知函数f（x）=-4x²＋4ax-4a-a²,求函数f（x）在［0，1］上的最小值h（a）

已知函数f（x）=-4x²＋4ax-4a-a²,求函数f（x）在［0，1］上的最小值h（a）

答：
f(x)=-4x^2+4ax-4a-a^2
=-(4x^2-4ax+a^2)-4a
=-(2x-a)^2-4a
=-4(x-a/2)^2-4a
1）
对称轴x=a/2<=(0+1)/2即a<=1时
在区间[0,1]上，x=1比x=0离对称轴远
x=1时取得最小值h(a)=-4+4a-4a-a^2=-a^2-4
2）
对称轴x=a/2>=(0+1)/2即a>=1时

在区间[0,1]上，x=1比x=0离对称轴近
x=0时取得最小值h(a)=0+0-4a-a^2=-a^2-4a

综上所述：
h(a)=-a^2-4，a<=1
h(a)=-a^2-4a，a>=1

考虑对称轴x=a\2的范围。

当对称轴小于0时，也就是a<0时，f(x)在[0,1]上单减，此时h（a）=f(1)=-4-a^2

当对称轴在定义域内时，也就是0<a<2时，h（a）=max｛f（0），f（1）｝。再次讨论。

当0<=a<=1时，f(1)<f(0),此时h（a）=f（1）=-4-a^2；

当1<a<=2时，f（1）>f(0),此时h（a）=f（0）=-4a-4a^2。

当对称轴大于1时，即a>2时，f（x）在[0,1]上单增，此时h（a）=f（0）=-4a-4a^2。

解：有题意可知，f(x)是一元二次函数 又图像开口向下，x∈[0,1], ∴f(x)只能在x=0或x=1处(即两端处)取得最小值 f(0)=-4a-a²，f(1)=-4-a² ①当f(0)≥f(1)时， -4a-a²≥-4-a²，a≤1, 即当a≤1时，h(a)=f(1)=-4-a² ②当f(0)≤f(1)时， -4a-a²≤-4-a²，a≥1, 即当a≤1时，h(a)=f(0)=-4a-a² 综上所诉，当a≤1时，h(a)=-4-a²；当a＞1时，h(a)=-4a-a²

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