谓词演算的形成规则

谓词演算的形成规则

形成规则定义项，公式和自由变量。
项
项的集合按如下规则递归的定义：
任何常量是项。
任何变量是项。
n ≥ 1 个参数的任何表达式 f(t1,...,tn) （这里的每个参数 ti 都是项，而 f 是 n 价的函数符号） 是项。
闭包条款： 其他东西都不是项。
合式公式
合式公式（通常叫做 wff 或只是公式）按如下规则递归的定义：
简单和复杂谓词 如果 P 是 n ≥ 1 价的关系而 ai 是项，则 P(a1,...,an) 是合式的。如果等式被认为是逻辑的一部分，则 (a1 = a2） 是合式的。所有这个公式都被称为是原子。
归纳条款 I: 如果 φ 是 wff，则 ¬；φ 是 wff。
归纳条款 II: 如果 φ 和 ψ 是 wff，则 （φ → ψ） 是 wff。
归纳条款 III: 如果 φ 是 wff 而 x 是变量，则x φ 是 wff。
闭包条款： 其他东西都不是 wff。
因为 ¬；（φ → ¬；ψ） 逻辑等价于 （φ ∧ ψ），（φ ∧ ψ） 经常用做简写。（φ ∨ ψ） 和 （φ ψ） 也是同样的道理。还有x φ 是 ¬?y ¬；φ 的简写。实际中，如果 P 是 2 价关系，我们经常写 a P b 替代 P a b；例如，我们写 1 < 2 而不是 <（1 2）。类似的，如果 f 是 2 价函数，我们有时写 a f b 替代 f(a b)；例如，我们写 1 + 2 而不是 +（1 2）。经常省略某些圆括号，如果不导致歧义的话。
有时声称 P(x) 对精确的一个 x 成立是有用的，这可表达为！x P(x）。还可以表达为x (P(x) ∧y (P(y) → (x = y)))。
在计算机科学术语中，公式实现内置“布尔”类型，而项实现所有其他类型。
自由变量
原子公式 如果 φ 是原子公式则 x 在 φ 中是自由的，当且仅当 x 出现在 φ 中。
归纳条款 I: x 在 ¬；φ 中是自由的，当且仅当 x 在 φ 中是自由的。
归纳条款 II: x 在 （φ → ψ） 中是自由的，当且仅当 x 在 φ 中是自由的或者 x 在 ψ 中是自由的。
归纳条款 III: x 在y φ 中是自由的，当且仅当 x 在 φ 中是自由的并且 x?y。
闭包条款： 如果 x 在 φ 中不是自由的，则它是约束的。
例如，在 x y (P(x) Q(x,f(x),z)) 中，x 和 y 是约束变量，而 z 是自由变量，而 w 不是二者因为它没有出现在任何公式中。

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