f:在[0,1]为连续函数,∫[0,1]f(x)(x-f(x))dx=1/12,求f(x)表达式

f:在[0,1]为连续函数,∫[0,1]f(x)(x-f(x))dx=1/12,求f(x)表达式

一般的讲，仅根据此定积分结果等于1/12，f(x)的表达式是不确定的。但对此题而言，由于1/12是一个极值，所以f(x)表达式可以确定。
解：根据均值不等式有
f(x)[x-f(x)]≤{[f(x)+x-f(x)]/2}²=x²/4
当且仅当f(x)=x-f(x)成立时取等号。
所以
1/12=∫[0,1]f(x)[x-f(x)]dx≤∫[0,1]x²/4dx=1/4*1/3*x³|（0,1）=1/12
要想等式成立，必须f(x)=x-f(x)在[0,1]处处成立，也即
f(x)=x/2，x属于[0,1]追问感谢。追答定积分求偏导数变成了0=0。楼上说的是不对的，也凑不出他所说的（f（x）-x/2）x=0
定积分等于1/12这个条件他也没有用到。事实上，如果定积分结果不是1/12，如前所述f(x)的答案就是不确定的。追问我也觉得

f（x）=x/2追答应该对吧。在床上想的追问能告知过程吗？追答两边求导f（x）通过拼凑凑成（f（x）-x/2）x=0x不为0所以追问两边求导它的上下限都是常数，求导不是为零了吗。追答这个有个特别的公式。不知道你偏导有没有学过定积分可以这样求导 只有它连续追问定积分怎么求偏导追答我记得公式是
f从c（x）积分到d（x） f（x）dx=f偏x+f（x，d（x））d（x）偏x-f（x，c（x））乘以c（x）偏x刚好d（x） c（x）为常数偏导为0追问好的。谢谢了。

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