已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a^x(a>0，a不=1)，求证：f(2x)=2f(x)g(x)

已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a^x(a>0，a不=1)，求证：f(2x)=2f(x)g(x)

依题意，得：f(x)+g(x)=a^x①
令-x=x

得：f(-x)+g(-x)=a^(-x)
∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数
∴f(-x)＝-f(x)，g(-x)=g(x)
∴-f(x)+g(x)=a^(-x)②

由①②得：f(x)=[a^x-a^(-x)]/2

g(x)=[a^x+a^(-x)]/2
∴f(2x)=[a^(2x)-a^(-2x)]/2
f(x)×g(x)=[a^x-a^(-x)]/2×[a^x+a^(-x)]/2=[a^(2x)-a^(-2x)]/4
2f(x)×g(x)=[a^(2x)-a^(-2x)]/2

∴f(2x)=2f(x)g(x)

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