双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的左右焦点分别为F1F2,点P在双曲线的右支上,且PF1=7PF2,求双曲线的离

双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的左右焦点分别为F1F2,点P在双曲线的右支上,且PF1=7PF2,求双曲线的离心率最大值

已知双曲线方程为：x²/a²-y²/b²=1
∴设P点坐标为：(asecθ,btanθ)
∵P点在右支上,所以：-π/2＜θ＜π/2
∵PF1-PF2=2a=7PF2-PF2=6PF2
∴a=3PF2
∵P：(asecθ,btanθ),F2(c,0)
∴|PF2|²=(asecθ-c)²+(btanθ)²=9a²
经整理,得：
9c²sec²θ-18acsecθ+8a²=0
两边除以a²：
∴9e²sec²θ-18esecθ+8=0……①式
∵-π/2＜θ＜π/2
∴0＜cosθ≤1 ∴secθ≥1
因此要求方程①必须至少有一个解满足：secθ≥1
∴令f(secθ)=9e²sec²θ-18esecθ+8
那么对称轴secθ=1/e满足：0＜1/e＜1
因此只能保证有一个解满足：secθ≥1
∴要求f(secθ)的抛物线图象满足：
当secθ=1时：f(secθ)≤1
即：9e²sec²θ-18esecθ+8≤1
解得：2/3≤e≤4/3
∵e＞1
∴1＜e≤4/3
∴e的最大值是4/3
手工计算,应该没错~

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