趣味数学题1

一只猫紧紧追赶着一只老鼠。 就在猫将要抓住老鼠的时候，老鼠正好跑到一个圆形的池塘旁边，纵身跳入池内，猫抓了个空。猫舍不得这顿即将到口的美餐，于是盯住老鼠，在池边跟着老鼠游泳方向跑动，想等老鼠爬上岸来时抓住它。请问猫奔跑的速度至少是老鼠游水速度多少倍，猫才能看住老鼠，使得老鼠一上岸，就被猫逮住？假设老鼠和猫都非常聪明，它们可以任意改变运动方向而不影响速度。

好吧 老鼠非常聪明 猫也非常聪明....

那么会出现的情况是 猫在岸边 而老鼠在池塘中央

然后老鼠背向着猫运动 因为这样最容易跑掉

当老鼠游到岸边 距离为r

猫刚好捉住它 猫的跑动距离为圆的周长的一半 pi ×r

那么 猫的速度至少是老鼠的 3.14159……倍

有人提出两种假设

1 是 在中间然后背对猫跑直线
2 是 在中间然后始终背对猫运动 跑的就是弧线了

我们按第二种假设来分析

由于老鼠始终背对猫运动

如果猫的速度不够 老鼠的轨迹是弧形向外的螺旋线

如果猫的速度足够大 老鼠的轨迹是个圆形

随着猫的速度增加 老鼠的轨迹是圆而且半径不断减少

如果猫的速度无限大 老鼠的轨迹相当于在圆心不动

那么 猫的速度是什么的情况下 老鼠的轨迹是圆而且半径与池塘一样呢？

不难发现 猫的速度 = 老鼠的速度 时 老鼠的轨迹是圆而且半径与池塘

所以 第二种假设并不能使老鼠更容易逃脱

所以 猫的速度至少是老鼠的 π 倍

圆周率的一半

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