已知双曲线x^2-y^2/3=1 存在 y=kx+4 对称已知双曲线x^2-y^2/3=1,其上存在

已知双曲线x^2-y^2/3=1 存在 y=kx+4 对称已知双曲线x^2-y^2/3=1,其上存在

x^2-y^2/3=13x^2-y^2-3=0假设两点坐标是(x1,y1),(x2,y2) 则(1)过这两点的直线垂直于y=kx+4(2)这两点的中点[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]在y=kx+4 所以(1)(y2-y1)/(x2-x1)=-1/k就是y2-y1=-(x2-x1)/k (2)(y1+y2)/2=k(x1+x2)/2+4就是y1+y2=k(x1+x2)+8 两式左右分别相乘得到 y2^2-y1^2=x1^2-x2^2-8(x2-x1)/k 又因为3x^2-y^2-3=0所以y^2=3x^2-3 所以y1^2=3x1^2-3 y2^2=3x2^2-3带入上面的式子 (3x2^2-3)-(3x1^2-3)=x1^2-x2^2-8(x2-x1)/k 4(x2^2-x1^2)=-8(x2-x1)/k 所以x2-x1=0或者x2+x1=-2/k x2-x1=0则y1+y2=0这两点只能关于x轴对称,而y=kx+4不可能是x轴 所以只能x2+x1=-2/k所以x2=-x1-2/k 所以y1+y2=k(x1+x2)+8=6所以y2=6-y1 所以(6-y1)^2=3(-x1-2/k)^2-3 且y1^2=3x1^2-3 两式相减整理得到 -y1=x1/k+1/k^2-3 两边平方并把y1^2=3x1^2-3带入得到 (3-1/k^2)x1^2+[2*(3-1/k^2)/k]x1-(3-1/k^2)^2-3=0 要这个方程有两个不同的解则 △>0所以(1/k^2-3)(2/k^2-9)>0 则两个括号或同为正或同为负 若同为正则k^2======以下答案可供参考======供参考答案1:k>4供参考答案2:设关于L对称的两个双曲线上的点为P(x1,y1),Q(x2,y2)则根据对称的定义，可知：线段PQ被直线L垂直平分由PQ⊥L可知kPQ=-1/kL=-1/k因此可设直线PQ的方程为：y=(-1/k)*x+b联立直线PQ与双曲线：3x^-y^=1的方程，消去y，可得到关于x的一元二次方程：(3k^-1)x^ +2bkx-(b^+3)k^=0 （当3k^-1=0，即k=±√3/3时，方程为一元一次方程，说明直线PQ与双曲线只有一个交点，必然不可能满足存在对称点的条件，故k=±√3/3不符合题意 ，k≠±√3/3，3k^-1≠0 ） 此方程的两个实根必为P，Q这两个直线PQ与双曲线交点的横坐标x1,x2由韦达定理有：x1+x2=-2bk/(3k^-1) ①而此方程要有两个不等的实根x1,x2，必然要使：△=(2bk)^-4*(3k^-1)*[-(b^+3)k^]>0化简后即：k^b^+（3k^-1）>0 ②P,Q两点代入所设的直线PQ的方程有：y1=(-1/k)x1+by2=(-1/k)x2+b于是：y1+y2=(-1/k)*(x1+x2)+2b将①代入：y1+y2=6bk^/(3k^-1) ③由刚才已知的L是线段PQ的中垂线，可知，PQ的中点M必在直线L上，而PQ中点M根据中点坐标公式可得：M((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)代入①，③式，可得：M（-bk/(3k^-1),3bk^/(3k^-1)）而M点在直线L:y=kx+4上，可将其带入方程两侧替换x,y的位置，进行化简，并最终可得到关于k和b的关系式为：bk^=3k^-1当k=0时，显然等式不成立，故k不能为0，k≠0 ※∴有:b=(3k^-1)/k^ ④将其带入②，并作出化简，最终可得：(3k^-1)(4k^-1)>0k^>1/

对的，就是这个意思

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