一道初二数学题，急急急！！！

如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线，交BE的延长线于点F，且AF＝DC，连接CF.

① 请你探究：线段BD与线段CD之间的数量关系，并说明理由。

② 若AB=AC，试猜测四边形ADCF的形状，并说明理由。

1．∵E为AD中点

∴AE=DE

∵BC∥AF

∴∠AFB=∠FBD

∵∠AEF=∠BED

∴⊿EBD≌⊿EFA

∴AF=BD=CD

2. ∵AF∥DC 且AF=DC

∴四边形AFDC为平行四边形

∵BD=BD

∴D为AD中点

∵AB=AC

∴AD⊥BC

∵AFDC为平行四边形

∴平行四边形AFDC为矩形

解：

（1）因为AF平行于BC

所以∠EBC=∠EFA

所以在△BED和△FEA中

∠EBC=∠EFA

∠AEF=∠DEB

AE=DE

所以△BED≌△FEA

所以BD=AF

因为DC=AF

所以BD=DC

（2）因为AF平行于BC

所以∠FAC=∠BEC

因为AB=AC

所以∠ACB=∠ABC=∠FAC

所以在△ABD和△CAF中

AB=AC

∠ACB=∠FAC

BD=AF

所以△ABD≌△CAF

AD=FC

∠ADB+∠ADC=180°=∠ADC+∠FCD=∠ADC+∠DAF

所以四边形ADCF的形状为平行四边形

① BD=CD

因AF＝DC 且平行 那么四边形ADCF是平行四边形

所以DE平行FC 又E为AD中点

那么DE是三角形BCF的中位线 所以D是BC的中点 故BD=CD

②是长方形（矩形）

当AB=AC 时 AD就垂直BC了 可以证明有个角是直角的平行四边形是长方形

AC DF既平行也相等，所以ADCF为平行四边形

(1).AF//＝BD，所以AFBD是平行四边形 因为：AE＝ED，∠AFC=∠BCF，∠AEF=∠DEC 所以：△AEF≌△DEC 可知：CD＝AF＝BD 所以：D是BC边上的中点 ，BD=CD (2).如果AB＝AC，而BD＝CD 所以：AD⊥BC 可得出：四边形AFBD是矩形

由AF//BC，得：∠FAC=∠ACD（平行线内错角相等定理）

又∵AF=CD,AC=AC (公共边)

∴△FAC≌△DCA，（根据“边角边”三角形全等定理）

∴AD=FC（全等三角形的对应边相等）

又∵AF=DC，

∴四边形AFCD是长方形（定理：如果两组对边分别相等，那么四边形是长方形）

∴∠ADC=90°

∴AD⊥BC

∴D点是BC的中点（三角形中线定理）

第二问：ADCF是长方形证明：其实在第一问已经证明了由AF//BC

得：∠FAC=∠ACD（平行线内错角相等定理）

又∵AF=CD,AC=AC (公共边)

∴△FAC≌△DCA，（根据“边角边”三角形全等定理）

∴AD=FC（全等三角形的对应边相等）

又∵AF=DC，

∴四边形AFCD是长方形（定理：如果两组对边分别相等，那么四边形是长方形）

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