设函数f(x)满足条件f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在x=0处连续,证明f(x)在所有的点x0处连续

设函数f(x)满足条件f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在x=0处连续,证明f(x)在所有的点x0处连续

证明f(x)在R上连续,即要证明对于任意x0，
极限lim[f(x0+Δx)(Δx→0)存在且等于f(x0)。
因为f(x)在x=0处连续，所以limf(x)(x→0)=f(0)

又因为f(x+y)=f(x)+f(y), f(0)=f(0)+f(0)=2f(0), 所以f(0)=0
所以f(x0+Δx)=f(x0)+f(Δ畅揣扳废殖肚帮莎爆极x)

所以lim[f(x0+Δx)(Δx→0)=limf(Δx)+f(0)(Δx→0)=f(x0)

即证明了函数在任意一点x处存在极限且等于f(x0)
结论得证

证明f(x)在r上连续,即要证明对于任意x0， 极限lim[f(x0+δx)(δx→0)存在且等于f(x0)。 因为f(x)在x=0处连续，所以limf(x)(x→0)=f(0) 又因为f(x+y)=f(x)+f(y), f(0)=f(0)+f(0)=2f(0), 所以f(0)=0 所以f(x0+δx)=f(x0)+f(δx) 所以lim[f(x0+δx)(δx→0)=limf(δx)+f(0)(δx→0)=f(x0) 即证明了函数在任意一点x处存在极限且等于f(x0) 结论得证

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